Какова вероятность того, что событие A появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если вероятность появления события A в каждом испытании составляет 0.2?

Математика 11 класс Вероятностные события и распределение Бернулли вероятность события A независимые испытания математическая статистика комбинаторика 11 класс математика задачи по вероятности вероятность появления события

Давай разберемся с этой задачей! Мы знаем, что у нас есть 5 независимых испытаний и вероятность события A в каждом из них составляет 0.2. Нам нужно найти вероятность того, что событие A произойдет не менее 2 раз. Это можно сделать, используя формулу для биномиального распределения!

Сначала давай определим, что значит "не менее 2 раз". Это означает, что событие A может произойти 2, 3, 4 или 5 раз. Но проще всего посчитать вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что A произойдет 0 или 1 раз, и затем вычесть это значение из 1.

Шаги для решения:

1. Вероятность того, что A не произойдет ни разу (0 раз):
2. Вероятность того, что A произойдет ровно 1 раз:
3. Сложим эти вероятности и вычтем из 1.

Итак, начнем с вероятности того, что A не произойдет ни разу:

P(0) = (1 - 0.2)^5 = 0.8^5 = 0.32768

Теперь вероятность того, что A произойдет ровно 1 раз:

P(1) = C(5, 1) * (0.2)^1 * (0.8)^4 = 5 * 0.2 * 0.8^4 = 5 * 0.2 * 0.4096 = 0.4096

Теперь сложим эти вероятности:

P(0) + P(1) = 0.32768 + 0.4096 = 0.73728

Теперь вычтем это значение из 1, чтобы получить вероятность того, что A произойдет не менее 2 раз:

P(не менее 2) = 1 - (P(0) + P(1)) = 1 - 0.73728 = 0.26272

Ответ: Вероятность того, что событие A появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, составляет примерно 0.26272 или 26.27%. Это здорово! Надеюсь, тебе понравился этот математический путь к решению!

Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество независимых испытаний, и мы знаем вероятность успеха в каждом из них.

Давайте обозначим:

• n - количество испытаний (в нашем случае n = 5),
• p - вероятность успеха в каждом испытании (p = 0.2),
• X - случайная величина, представляющая количество успехов (появление события A).

Нам нужно найти вероятность того, что событие A появится не менее двух раз. Это можно записать как:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)).

Теперь мы вычислим P(X = 0) и P(X = 1) с помощью формулы биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).

1. Вычислим P(X = 0):
• k = 0, n = 5, p = 0.2.
• C(5, 0) = 1 (так как C(n, 0) всегда равно 1).
• P(X = 0) = C(5, 0) * (0.2)^0 * (0.8)^5 = 1 * 1 * 0.8^5 = 0.32768.

1. Вычислим P(X = 1):
• k = 1, n = 5, p = 0.2.
• C(5, 1) = 5 (так как C(n, 1) = n).
• P(X = 1) = C(5, 1) * (0.2)^1 * (0.8)^4 = 5 * 0.2 * 0.8^4 = 5 * 0.2 * 0.4096 = 0.4096.

Теперь мы можем найти P(X < 2):

P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.32768 + 0.4096 = 0.73728.

Теперь подставим это значение в формулу для P(X ≥ 2):

P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0.73728 = 0.26272.

Таким образом, вероятность того, что событие A появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, составляет примерно 0.26272, или 26.27%.