Для решения задачи по нахождению экстремумов и анализа функции двух переменных z = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y, мы будем следовать нескольким шагам:

Сначала найдем частные производные функции по переменным x и y:

• Частная производная по x: ∂z/∂x = 2x + y - 3
• Частная производная по y: ∂z/∂y = x + 2y - 6

Для нахождения критических точек необходимо приравнять частные производные к нулю:

1. 2x + y - 3 = 0
2. x + 2y - 6 = 0

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим y:

y = 3 - 2x

Подставим это значение во второе уравнение:

x + 2(3 - 2x) - 6 = 0

Упростим уравнение:

x + 6 - 4x - 6 = 0

-3x = 0, отсюда x = 0.

Теперь подставим x = 0 в первое уравнение:

2(0) + y - 3 = 0, отсюда y = 3.

Таким образом, мы нашли одну критическую точку: (0, 3).

Для этого используем вторые производные:

• ∂²z/∂x² = 2
• ∂²z/∂y² = 2
• ∂²z/∂x∂y = 1

Теперь вычислим дискриминант D:

D = (∂²z/∂x²) * (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)² = 2 * 2 - 1² = 4 - 1 = 3.

Так как D > 0 и ∂²z/∂x² > 0, то критическая точка (0, 3) является минимумом.

Для этого необходимо проанализировать знаки первой производной. Мы можем использовать метод знаковых таблиц или просто подставить значения в частные производные.

Для этого решим уравнения:

• 2x + y - 3 = 0
• x + 2y - 6 = 0

Из этих уравнений можно получить границы, где функция возрастает или убывает. Например, если y < 3 - 2x, то функция будет убывать, и наоборот.

Для анализа выпуклости, нам нужно посмотреть на знак второй производной. Мы уже нашли вторые производные, и так как ∂²z/∂x² = 2 > 0 и ∂²z/∂y² = 2 > 0, это значит, что функция выпуклая во всех направлениях.

Для нахождения точек перегиба мы ищем, где меняется знак второй производной. В данном случае, так как вторая производная положительна, у нас нет точек перегиба.

В итоге, мы нашли, что:

• Критическая точка: (0, 3) - минимум.
• Функция выпуклая на всей области определения.
• Нет точек перегиба.