Какова задача по математике: дана функция двух переменных z=x^2+xy+y^2-3x-6y. Нужно найти экстремумы, промежутки возрастания и убывания, а также промежутки выпуклости и вогнутости функции, и определить точки перегиба?

Математика 11 класс Исследование функций нескольких переменных экстремумы функции промежутки возрастания промежутки убывания выпуклость функции вогнутость функции точки перегиба математика 11 класс функции двух переменных Новый

Для решения задачи по нахождению экстремумов и анализа функции двух переменных z = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y, мы будем следовать нескольким шагам:

1. Нахождение частных производных:

Сначала найдем частные производные функции по переменным x и y:

• Частная производная по x: ∂z/∂x = 2x + y - 3
• Частная производная по y: ∂z/∂y = x + 2y - 6

2. Нахождение критических точек:

Для нахождения критических точек необходимо приравнять частные производные к нулю:

1. 2x + y - 3 = 0
2. x + 2y - 6 = 0

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим y:

y = 3 - 2x

Подставим это значение во второе уравнение:

x + 2(3 - 2x) - 6 = 0

Упростим уравнение:

x + 6 - 4x - 6 = 0

-3x = 0, отсюда x = 0.

Теперь подставим x = 0 в первое уравнение:

2(0) + y - 3 = 0, отсюда y = 3.

Таким образом, мы нашли одну критическую точку: (0, 3).

3. Определение типа критической точки:

Для этого используем вторые производные:

• ∂²z/∂x² = 2
• ∂²z/∂y² = 2
• ∂²z/∂x∂y = 1

Теперь вычислим дискриминант D:

D = (∂²z/∂x²) * (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)² = 2 * 2 - 1² = 4 - 1 = 3.

Так как D > 0 и ∂²z/∂x² > 0, то критическая точка (0, 3) является минимумом.

4. Промежутки возрастания и убывания:

Для этого необходимо проанализировать знаки первой производной. Мы можем использовать метод знаковых таблиц или просто подставить значения в частные производные.

Для этого решим уравнения:

• 2x + y - 3 = 0
• x + 2y - 6 = 0

Из этих уравнений можно получить границы, где функция возрастает или убывает. Например, если y < 3 - 2x, то функция будет убывать, и наоборот.

5. Промежутки выпуклости и вогнутости:

Для анализа выпуклости, нам нужно посмотреть на знак второй производной. Мы уже нашли вторые производные, и так как ∂²z/∂x² = 2 > 0 и ∂²z/∂y² = 2 > 0, это значит, что функция выпуклая во всех направлениях.

6. Точки перегиба:

Для нахождения точек перегиба мы ищем, где меняется знак второй производной. В данном случае, так как вторая производная положительна, у нас нет точек перегиба.

В итоге, мы нашли, что:

• Критическая точка: (0, 3) - минимум.
• Функция выпуклая на всей области определения.
• Нет точек перегиба.