Каково математическое ожидание количества бросков кубика, если вы бросаете его до тех пор, пока не выпадет шестерка?

Математика 11 класс Математическое ожидание математическое ожидание количество бросков кубик шестерка вероятность статистика теория вероятностей Новый

Чтобы найти математическое ожидание количества бросков кубика, пока не выпадет шестерка, давайте сначала определим, что мы имеем. Кубик имеет 6 граней, и вероятность того, что на одной из них выпадет шестерка, составляет 1/6. Вероятность того, что не выпадет шестерка, соответственно равна 5/6.

Обозначим X как количество бросков, необходимых для того, чтобы выпала шестерка. Мы хотим найти математическое ожидание E(X).

Рассмотрим возможные сценарии:

1. Если на первом броске выпала шестерка, то количество бросков равно 1. Вероятность этого события составляет 1/6.
2. Если на первом броске не выпала шестерка (с вероятностью 5/6), то мы продолжаем бросать кубик. В этом случае нам нужно будет сделать еще 1 бросок плюс то количество бросков, которое нам потребуется, чтобы в итоге получить шестерку. Это можно записать как E(X).

Теперь мы можем составить уравнение для математического ожидания:

E(X) = (1/6) * 1 + (5/6) * (1 + E(X))

Давайте упростим это уравнение:

1. Раскроем скобки: E(X) = 1/6 + 5/6 + (5/6) * E(X).
2. Сложим числа: E(X) = 1 + (5/6) * E(X).

Теперь перенесем (5/6) * E(X) на левую сторону уравнения:

E(X) - (5/6) * E(X) = 1

Это можно записать как:

(1/6) * E(X) = 1

Теперь умножим обе стороны на 6:

E(X) = 6

Таким образом, математическое ожидание количества бросков кубика, пока не выпадет шестерка, составляет 6. Это значит, в среднем, вам потребуется 6 бросков, чтобы получить шестерку.