Каково значение К(6), если для многочлена Р(х) известны значения: Р(1) = 3, Р(2) = 3, Р(3) = 2, и остаток от деления Р(х) на (х-1)(х-2)(х-3) обозначен как К(х)?

Математика 11 класс Остатки от деления многочленов значение К(6) многочлен Р(х) остаток от деления значения многочлена математические задачи 11 класс Новый

Чтобы найти значение К(6), сначала нужно понять, что К(x) – это остаток от деления многочлена Р(x) на (x-1)(x-2)(x-3). Поскольку степень (x-1)(x-2)(x-3) равна 3, остаток К(x) будет многочленом степени не выше 2. То есть, мы можем записать К(x) в следующем виде:

K(x) = ax^2 + bx + c

где a, b и c – некоторые коэффициенты, которые нам нужно определить.

Далее, поскольку К(x) является остатком от деления Р(x) на (x-1)(x-2)(x-3), то для значений x = 1, 2 и 3 будет выполняться следующее:

• K(1) = Р(1) = 3
• K(2) = Р(2) = 3
• K(3) = Р(3) = 2

Теперь подставим эти значения в выражение для К(x):

1. Для x = 1:

K(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 3

2. Для x = 2:

K(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c = 3

3. Для x = 3:

K(3) = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c = 2

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

• 1) a + b + c = 3
• 2) 4a + 2b + c = 3
• 3) 9a + 3b + c = 2

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Начнем с вычитания первого уравнения из второго:

2) - 1): 4a + 2b + c - (a + b + c) = 3 - 3

3a + b = 0 (уравнение 4)

Теперь вычтем второе уравнение из третьего:

3) - 2): 9a + 3b + c - (4a + 2b + c) = 2 - 3

5a + b = -1 (уравнение 5)

Теперь у нас есть новая система из двух уравнений:

• 4) 3a + b = 0
• 5) 5a + b = -1

Теперь вычтем уравнение 4 из уравнения 5:

5) - 4): 5a + b - (3a + b) = -1 - 0

2a = -1 => a = -1/2

Теперь подставим значение a в уравнение 4:

3(-1/2) + b = 0 => -3/2 + b = 0 => b = 3/2

Теперь подставим значения a и b в первое уравнение:

-1/2 + 3/2 + c = 3 => 2 + c = 3 => c = 1

Теперь у нас есть все коэффициенты:

a = -1/2, b = 3/2, c = 1

Таким образом, К(x) можно записать как:

K(x) = -1/2 x^2 + 3/2 x + 1

Теперь мы можем найти K(6):

K(6) = -1/2 * (6^2) + 3/2 * 6 + 1

K(6) = -1/2 * 36 + 3/2 * 6 + 1

K(6) = -18 + 9 + 1 = -18 + 10 = -8

Таким образом, значение К(6) равно -8.