Каково значение n, при котором выполняется неравенство 1/2^(2)+1/3^(2)+1/4^(2)+1/5^(2)+....+1/n^(2) < 2?

Математика 11 класс Неравенства и последовательности значение N неравенство математика 11 сумма квадратов решение неравенств Новый

Для решения задачи, давайте рассмотрим последовательность, которая представлена в неравенстве:

1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + ... + 1/n². Мы хотим найти наименьшее значение n, при котором сумма этих дробей меньше 2.

Сначала запишем сумму более компактно:

S(n) = 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n²

Теперь мы можем вычислить значения этой суммы для различных n, начиная с n = 2, и увеличивая n, пока не достигнем значения, при котором S(n) станет меньше 2.

1. Для n = 2:

   S(2) = 1/2² = 1/4 = 0.25

2. Для n = 3:

   S(3) = 1/2² + 1/3² = 1/4 + 1/9 = 0.25 + 0.111... ≈ 0.361...

3. Для n = 4:

   S(4) = 1/2² + 1/3² + 1/4² = 1/4 + 1/9 + 1/16 ≈ 0.361... + 0.0625 = 0.4236...

4. Для n = 5:

   S(5) = 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² = 0.4236... + 0.04 = 0.4636...

5. Для n = 6:

   S(6) = 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² = 0.4636... + 0.027777... ≈ 0.4914...

6. Для n = 7:

   S(7) = 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² + 1/7² ≈ 0.4914... + 0.020408... ≈ 0.5118...

7. Для n = 8:

   S(8) = 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² + 1/7² + 1/8² ≈ 0.5118... + 0.015625 = 0.5274...

8. Для n = 9:

   S(9) = 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² + 1/7² + 1/8² + 1/9² ≈ 0.5274... + 0.0123456... ≈ 0.5397...

9. Для n = 10:

   S(10) = 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² + 1/7² + 1/8² + 1/9² + 1/10² ≈ 0.5397... + 0.01 = 0.5497...

Продолжая этот процесс, мы увидим, что значения S(n) растут, но остаются меньше 2 даже при больших n. Однако, чтобы проверить на каком n S(n) станет близким к 2, мы можем использовать приближенные значения или даже программный расчет.

Сумма рядов 1/k² сходится к значению π²/6, что примерно равно 1.64493. Это означает, что даже если мы продолжим вычисления, сумма S(n) никогда не достигнет 2, так как она будет всегда меньше этого значения.

Вывод: Неравенство 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n² < 2 выполняется для всех n ≥ 2.