Каковы частные производные первого порядка функции: √(1/5) (x² + 3xy) / y?

Математика 11 класс Частные производные функции нескольких переменных частные производные первый порядок функция математика 11 производные функции Новый

Чтобы найти частные производные первого порядка функции f(x, y) = √(1/5) * (x² + 3xy) / y, мы будем использовать правила дифференцирования для функций нескольких переменных.

Сначала запишем функцию:

f(x, y) = (√(1/5) * (x² + 3xy)) / y

Теперь найдем частные производные по x и y.

1. Частная производная по x:
• Для нахождения частной производной по x, мы будем рассматривать y как константу.
• Применим правило дифференцирования для дроби. В данном случае, f(x, y) = g(x, y) / h(y), где g(x, y) = √(1/5) * (x² + 3xy) и h(y) = y.
• Сначала найдем производную g(x, y) по x:
• g(x, y) = √(1/5) * (x² + 3xy)
• Производная g по x: g'(x, y) = √(1/5) * (2x + 3y).
• Теперь применим правило производной дроби:
• f'(x, y) = (g'(x, y) * h(y) - g(x, y) * h'(y)) / (h(y))².
• h'(y) = 1, так как h(y) = y.
• Подставим все найденные значения:

f'(x, y) = (√(1/5) * (2x + 3y) * y - (√(1/5) * (x² + 3xy)) * 1) / y².

Упростим это выражение:

f'(x, y) = (√(1/5) * (2xy + 3y² - x² - 3xy)) / y².

Таким образом, частная производная по x:

f_x(x, y) = √(1/5) * (2xy + 3y² - x² - 3xy) / y².

2. Частная производная по y:
• Теперь найдем частную производную по y, рассматривая x как константу.
• Сначала найдем производную g(x, y) по y:
• g(x, y) = √(1/5) * (x² + 3xy)
• Производная g по y: g'(x, y) = √(1/5) * (3x).
• Теперь применим правило производной дроби:
• f'(x, y) = (g(x, y) * h'(y) - g'(x, y) * h(y)) / (h(y))².
• h'(y) = 1.
• Подставим все найденные значения:

f'(x, y) = (√(1/5) * (x² + 3xy) * 1 - (√(1/5) * (3x)) * y) / y².

Упростим это выражение:

f'(x, y) = (√(1/5) * (x² + 3xy - 3xy)) / y².

Таким образом, частная производная по y:

f_y(x, y) = √(1/5) * x² / y².

Итак, окончательные частные производные первого порядка функции:

• f_x(x, y) = √(1/5) * (2xy + 3y² - x² - 3xy) / y².
• f_y(x, y) = √(1/5) * x² / y².