Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, площадь которого максимальна, если известна длина гипотенузы, равная 20 см?

Математика 11 класс Оптимизация площади фигур длина катетов прямоугольный треугольник максимальная площадь длина гипотенузы 20 см задачи по математике Новый

Для решения задачи о максимальной площади прямоугольного треугольника с известной длиной гипотенузы, воспользуемся следующими шагами:

1. Обозначим стороны треугольника: Пусть катеты треугольника обозначены как a и b, а гипотенуза как c. В нашем случае c = 20 см.
2. Запишем формулу для площади: Площадь прямоугольного треугольника определяется как:

   P = (a * b) / 2

3. Используем теорему Пифагора: Для прямоугольного треугольника выполняется соотношение:

   a^2 + b^2 = c^2

   Подставляем c = 20:

   a^2 + b^2 = 20^2 = 400

4. Выразим одну переменную через другую: Из уравнения a^2 + b^2 = 400 можно выразить b:

   b = sqrt(400 - a^2)

5. Подставим b в формулу площади: Теперь выразим площадь через одну переменную a:

   P(a) = (a * sqrt(400 - a^2)) / 2

6. Найдём максимальную площадь: Для нахождения максимума функции P(a) необходимо найти производную и приравнять её к нулю:

   P'(a) = (sqrt(400 - a^2) / 2) + (a * (-a / sqrt(400 - a^2))) / 2 = 0

   Упрощая, получаем уравнение, которое можно решить для a.

7. Решаем уравнение: Упрощая, получаем:

   400 - 2a^2 = 0

   2a^2 = 400

   a^2 = 200

   a = sqrt(200) = 10 * sqrt(2)

8. Найдём b: Подставляем a обратно в формулу для b:

   b = sqrt(400 - (10 * sqrt(2))^2) = sqrt(400 - 200) = sqrt(200) = 10 * sqrt(2)

9. Вывод: Таким образом, при максимальной площади катеты a и b равны:

   a = 10 * sqrt(2) см и b = 10 * sqrt(2) см.

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника с максимальной площадью при гипотенузе 20 см равны 10 * sqrt(2) см.