Каковы длины сторон прямоугольника, если его площадь составляет 36 см², а периметр равен 30 см?

Математика 11 класс Системы уравнений длина сторон прямоугольника площадь 36 см² периметр 30 см задача по математике 11 класс геометрия прямоугольник решение задачи формулы площади и периметра математические уравнения Новый

Решим задачу о нахождении сторон прямоугольника, зная его площадь и периметр.

Обозначим длины сторон прямоугольника как a и b.

Согласно условию задачи, у нас есть две формулы:

• Площадь прямоугольника: ab = 36 см²
• Периметр прямоугольника: 2(a + b) = 30 см

Начнем с уравнения для периметра. Упростим его:

1. Разделим обе стороны на 2: a + b = 15 см.

Теперь у нас есть система уравнений:

• ab = 36
• a + b = 15

Теперь выразим одну переменную через другую. Из второго уравнения выразим b:

1. b = 15 - a

Теперь подставим это выражение для b в первое уравнение:

1. a(15 - a) = 36

Раскроем скобки:

1. 15a - a² = 36

Переносим все в одну сторону уравнения:

1. a² - 15a + 36 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = -15, c = 36.
• Подставляем значения: D = (-15)² - 4 * 1 * 36 = 225 - 144 = 81.

Теперь найдем корни уравнения:

1. a = (15 ± √D) / 2 = (15 ± 9) / 2

Это дает два значения:

• a1 = (15 + 9) / 2 = 12
• a2 = (15 - 9) / 2 = 3

Теперь подставим найденные значения a обратно в выражение для b:

• Если a = 12, то b = 15 - 12 = 3.
• Если a = 3, то b = 15 - 3 = 12.

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны:

a = 12 см и b = 3 см (или наоборот).

Ответ: длины сторон прямоугольника равны 12 см и 3 см.