Каковы коэффициенты разложения x, y, z для точки K, которая расположена на отрезке A1B1, если A1K : KB1 = 5:1 и DK = x*DA + y*DC + z*DD в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1?

Математика 11 класс Векторы и их разложение коэффициенты разложения точка K отрезок A1B1 A1K KB1 параллелепипед математические задачи математика 11 класс Новый

Чтобы найти коэффициенты разложения x, y, z для точки K, мы можем воспользоваться свойствами отрезков и векторного представления в пространстве.

Давайте рассмотрим отрезок A1B1. Если A1K : KB1 = 5:1, это означает, что точка K делит отрезок A1B1 в отношении 5 к 1. Таким образом, мы можем выразить позицию точки K через векторы A1 и B1.

1. Сначала определим векторное представление точек:

• A1 = (0, 0, 0)
• B1 = (1, 0, 0)

2. Теперь найдем координаты точки K, используя отношение деления отрезка:

Пусть длина отрезка A1B1 равна 1. Тогда:

• Длина отрезка AK = 5/6
• Длина отрезка KB1 = 1/6

3. Координаты точки K можно найти по формуле:

K = A1 + (доля отрезка) * (B1 - A1)

Так как доля отрезка AK составляет 5/6, мы имеем:

K = (0, 0, 0) + (5/6) * ((1, 0, 0) - (0, 0, 0)) = (5/6, 0, 0)

4. Теперь, чтобы выразить DK через векторы DA, DC и DD, необходимо знать их координаты. Предположим, что:

• DA = (0, 0, 0)
• DC = (0, 1, 0)
• DD = (0, 0, 1)

5. Теперь мы можем записать вектор DK как:

DK = K - D = (5/6, 0, 0) - (0, 0, 0) = (5/6, 0, 0)

6. Далее, выразим DK в виде линейной комбинации векторов DA, DC и DD:

DK = x * DA + y * DC + z * DD

Подставляем значения:

(5/6, 0, 0) = x * (0, 0, 0) + y * (0, 1, 0) + z * (0, 0, 1)

7. Поскольку вектор DK имеет ненулевую компоненту только по первой координате, то мы можем сделать вывод:

• x = 5/6
• y = 0
• z = 0

Таким образом, коэффициенты разложения x, y, z для точки K равны:

• x = 5/6
• y = 0
• z = 0