2026-01-15 15:04:31
Каковы координаты точек перегиба графика функции f(x) = 2(x-1)³(3-x)?
Имеются следующие точки:
- (x₁; y₁) = (____; ____)
- (x₂; y₂) = (____; ____)
Математика 11 класс Координаты точек перегиба графика функции координаты точек перегиба график функции математический анализ f(x) = 2(x-1)³(3-x) точки перегиба функции
2026-01-15 15:04:56
Чтобы найти координаты точек перегиба графика функции f(x) = 2(x-1)³(3-x), нам нужно выполнить несколько шагов:
- Найти первую производную функции f(x).
- Найти вторую производную функции f(x).
- Определить точки перегиба – это точки, где вторая производная равна нулю или не существует.
- Найти значения функции в этих точках, чтобы определить координаты точек перегиба.
Теперь давайте начнем с первого шага.
1. Первая производная f'(x):
Используем правило произведения для нахождения первой производной:
f'(x) = 2 * [3(x-1)²(3-x) + (x-1)³(-1)]
Упрощая, получаем:
f'(x) = 2 * [(3(x-1)²(3-x)) - (x-1)³]
Теперь перейдем ко второму шагу.
2. Вторая производная f''(x):
Нам нужно взять производную от f'(x). Это может быть довольно громоздко, поэтому для упрощения мы воспользуемся уже найденным выражением и снова применим правило произведения:
f''(x) = 2 * [6(x-1)(3-x) - 3(x-1)²]
После упрощения получаем:
f''(x) = 6(x-1)(3-x) - 6(x-1)²
Теперь упростим это выражение:
f''(x) = 6(x-1)[(3-x) - (x-1)] = 6(x-1)(4 - 2x)
3. Найдем точки перегиба:
Для этого приравняем вторую производную к нулю:
6(x-1)(4-2x) = 0
Это уравнение равно нулю, когда:
- x - 1 = 0 => x = 1
- 4 - 2x = 0 => x = 2
Таким образом, у нас есть две точки: x₁ = 1 и x₂ = 2.
4. Найдем значения функции f(x) в этих точках:
Теперь подставим x₁ и x₂ обратно в функцию f(x):
f(1) = 2(1-1)³(3-1) = 2*0*2 = 0
f(2) = 2(2-1)³(3-2) = 2*1*1 = 2
Таким образом, координаты точек перегиба:
- (x₁; y₁) = (1; 0)
- (x₂; y₂) = (2; 2)
Ответ: (x₁; y₁) = (1; 0), (x₂; y₂) = (2; 2).