Каковы критические точки функции y = 2x^3 - 9x^2 + 7 и как определить, какие из них являются точками максимума, а какие - точками минимума?

Математика 11 класс Критические точки и экстремумы функции критические точки функции y = 2x^3 - 9x^2 + 7 точки максимума точки минимума определение критических точек анализ функции производная функции экстремумы функции математика 11 класс Новый

Чтобы найти критические точки функции y = 2x^3 - 9x^2 + 7, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдите первую производную функции.

   Первая производная функции показывает, где функция возрастает или убывает. Для данной функции y = 2x^3 - 9x^2 + 7, найдем производную:

   y' = d/dx(2x^3) - d/dx(9x^2) + d/dx(7) = 6x^2 - 18x.

2. Приравняйте первую производную к нулю.

   Чтобы найти критические точки, решим уравнение:

   6x^2 - 18x = 0.

   Можно вынести общий множитель:

   6x(x - 3) = 0.

   Теперь мы можем найти корни:

   • x = 0,
   • x = 3.

   Таким образом, критические точки функции находятся в x = 0 и x = 3.

3. Найдите вторую производную функции.

   Вторая производная поможет нам определить, являются ли критические точки точками максимума или минимума:

   y'' = d/dx(6x^2 - 18x) = 12x - 18.

4. Подставьте критические точки во вторую производную.

   Теперь подставим x = 0:

   y''(0) = 12(0) - 18 = -18.

   Так как вторая производная отрицательна, это означает, что в точке x = 0 находится максимум.

   Теперь подставим x = 3:

   y''(3) = 12(3) - 18 = 36 - 18 = 18.

   Так как вторая производная положительна, это означает, что в точке x = 3 находится минимум.

Итак, мы нашли критические точки:

• x = 0 - точка максимума,
• x = 3 - точка минимума.

Таким образом, критические точки функции y = 2x^3 - 9x^2 + 7 - это x = 0 и x = 3, где x = 0 является максимумом, а x = 3 - минимумом.