Каковы минимальные и максимальные значения функции

y=sinx на отрезке [п/4;5п/3] и

y=cosx на отрезке [-2п/3;0]?

Математика 11 класс Исследование функций на экстремумы минимальные значения функции максимальные значения функции y=sinx y=cosx отрезок [п/4;5п/3] отрезок [-2п/3;0] математика 11 класс Новый

Для нахождения минимальных и максимальных значений функций на заданных отрезках, мы будем следовать нескольким шагам. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Функция y = sin(x) на отрезке [π/4; 5π/3]:

Шаг 1: Найдем производную функции sin(x):

• Производная y' = cos(x).

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

• cos(x) = 0.
• Это происходит при x = π/2 + kπ, где k - целое число.

Шаг 3: Найдем критические точки в заданном отрезке:

• Для k = 0: x = π/2 (входит в отрезок).
• Для k = 1: x = 3π/2 (не входит в отрезок).

Шаг 4: Теперь вычислим значения функции в критической точке и на границах отрезка:

• y(π/4) = sin(π/4) = √2/2.
• y(π/2) = sin(π/2) = 1.
• y(5π/3) = sin(5π/3) = -√3/2.

Шаг 5: Сравним полученные значения:

• √2/2 ≈ 0.707.
• 1 (максимальное значение).
• -√3/2 ≈ -0.866 (минимальное значение).

Таким образом, для функции y = sin(x) на отрезке [π/4; 5π/3]:

• Максимальное значение: 1 (при x = π/2).
• Минимальное значение: -√3/2 (при x = 5π/3).

2. Функция y = cos(x) на отрезке [-2π/3; 0]:

Шаг 1: Найдем производную функции cos(x):

• Производная y' = -sin(x).

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

• -sin(x) = 0.
• Это происходит при x = kπ, где k - целое число.

Шаг 3: Найдем критические точки в заданном отрезке:

• Для k = -1: x = -π (входит в отрезок).
• Для k = 0: x = 0 (граница отрезка).

Шаг 4: Теперь вычислим значения функции в критической точке и на границах отрезка:

• y(-2π/3) = cos(-2π/3) = -1/2.
• y(-π) = cos(-π) = -1.
• y(0) = cos(0) = 1.

Шаг 5: Сравним полученные значения:

• -1/2 (при x = -2π/3).
• -1 (при x = -π, минимальное значение).
• 1 (при x = 0, максимальное значение).

Таким образом, для функции y = cos(x) на отрезке [-2π/3; 0]:

• Максимальное значение: 1 (при x = 0).
• Минимальное значение: -1 (при x = -π).

В итоге:

• Для y = sin(x) на [π/4; 5π/3]: максимальное значение 1, минимальное -√3/2.
• Для y = cos(x) на [-2π/3; 0]: максимальное значение 1, минимальное -1.