Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции Z = x² - 4xy + 2y в пределах треугольника ABC с вершинами A(1; -1), B(1; 0) и C(0; 1), нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Определение области определения функции:

   Функция Z определена для всех (x, y), но мы будем рассматривать только значения (x, y), которые лежат внутри или на границе треугольника ABC.

2. Нахождение значений функции в вершинах треугольника:

   Вершины треугольника A, B и C имеют координаты (1, -1), (1, 0) и (0, 1) соответственно. Подставим эти координаты в функцию Z:

   • Для точки A(1, -1):

   Z(1, -1) = 1² - 4*1*(-1) + 2*(-1) = 1 + 4 - 2 = 3

   • Для точки B(1, 0):

   Z(1, 0) = 1² - 4*1*0 + 2*0 = 1 - 0 + 0 = 1

   • Для точки C(0, 1):

   Z(0, 1) = 0² - 4*0*1 + 2*1 = 0 - 0 + 2 = 2

   • Таким образом, значения функции в вершинах:
   • A: Z = 3
   • B: Z = 1
   • C: Z = 2
3. Нахождение значений функции на границах треугольника:

   Теперь нужно проверить значения функции на границах треугольника, то есть на отрезках AB, BC и CA.

   • Отрезок AB: координаты точек от A(1, -1) до B(1, 0).

   На этом отрезке x = 1, y изменяется от -1 до 0:

   Z(1, y) = 1 - 4*1*y + 2*y = 1 - 4y + 2y = 1 - 2y.

   Значения Z при y = -1 и y = 0:

   • y = -1: Z = 1 - 2*(-1) = 1 + 2 = 3
   • y = 0: Z = 1 - 2*0 = 1
   • Отрезок BC: координаты точек от B(1, 0) до C(0, 1).

   Уравнение отрезка: y = -x + 1, x изменяется от 0 до 1.

   Подставляем y в функцию:

   Z(x, -x + 1) = x² - 4x(-x + 1) + 2(-x + 1) = x² + 4x² - 4x - 2x + 2 = 5x² - 6x + 2.

   Теперь найдем максимумы и минимумы этого квадратичного выражения. Найдем производную и приравняем к нулю:

   5(2x - 3) = 0 => x = 0.6.

   Теперь подставим x = 0, x = 1 и x = 0.6:

   • x = 0: Z = 2
   • x = 1: Z = 1
   • x = 0.6: Z(0.6) = 5*(0.6)² - 6*(0.6) + 2 = 5*0.36 - 3.6 + 2 = 1.8 - 3.6 + 2 = 0.2
   • Отрезок CA: координаты точек от C(0, 1) до A(1, -1).

   Уравнение отрезка: y = -2x + 1, x изменяется от 0 до 1.

   Подставляем y в функцию:

   Z(x, -2x + 1) = x² - 4x(-2x + 1) + 2(-2x + 1) = x² + 8x² - 4x - 4x + 2 = 9x² - 8x + 2.

   Также найдем максимум и минимум:

   9(2x - 4/9) = 0 => x = 4/9.

   Теперь подставим x = 0, x = 1 и x = 4/9:

   • x = 0: Z = 2
   • x = 1: Z = -1
   • x = 4/9: Z(4/9) = 9*(4/9)² - 8*(4/9) + 2 = 16/9 - 32/9 + 2 = 16/9 - 32/9 + 18/9 = 2/9
4. Сравнение всех найденных значений:

   Теперь мы можем сравнить все значения, которые мы нашли:

   • Вершины: 3 (A), 1 (B), 2 (C)
   • Отрезок AB: 3, 1
   • Отрезок BC: 2, 1, 0.2
   • Отрезок CA: 2, -1, 2/9

   Наименьшее значение Z = -1, наибольшее значение Z = 3.

Ответ: Наименьшее значение функции Z = -1, наибольшее значение функции Z = 3.