Каковы пары чисел a и b, для которых функция f(x) = ax³ - bx соответствует следующим условиям:

• производная f ' (-1) равна 10;
• интеграл от 2 до 3 функции f(x) равен -60, при этом нижняя часть интеграла равна -3.

Кроме того, без вычислений укажите значение интеграла от -π до π функции sin(x):

Указание: используйте график функции y = sin(x).

Какое свойство графика вы применяли? Попробуйте сделать обобщение.

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения и интегралы пары чисел a и b функция f(x) производная f'(-1) интеграл от 2 до 3 значение интеграла от -π до π график функции sin(x) свойство графика обобщение функции Новый

Давайте разберем вашу задачу по шагам.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x).

Функция задана как f(x) = ax³ - bx. Чтобы найти производную, применим правило дифференцирования:

• Производная от ax³ будет 3ax².
• Производная от -bx будет -b.

Таким образом, производная функции f(x) будет:

f'(x) = 3ax² - b.

Шаг 2: Подставим значение x = -1 в производную и найдем b.

Согласно условию, f'(-1) = 10. Подставим x = -1 в производную:

f'(-1) = 3a(-1)² - b = 3a - b.

Теперь у нас есть уравнение:

3a - b = 10. (1)

Шаг 3: Найдем интеграл от функции f(x) от 2 до 3.

Интеграл от f(x) будет равен:

∫(2 до 3) (ax³ - bx) dx.

Вычислим интеграл:

• Интеграл от ax³ будет (a/4)x^4.
• Интеграл от -bx будет (-b/2)x².

Подставим пределы интегрирования:

∫(2 до 3) (ax³ - bx) dx = [(a/4)(3^4) - (b/2)(3^2)] - [(a/4)(2^4) - (b/2)(2^2)].

Теперь подставим значения:

3^4 = 81, 2^4 = 16, 3^2 = 9, 2^2 = 4.

Итак, подставляем:

[(a/4)(81) - (b/2)(9)] - [(a/4)(16) - (b/2)(4)] = -60.

Упрощаем:

(81a/4 - 9b/2) - (16a/4 - 4b/2) = -60.

Это упростится до:

(65a/4 - 5b/2) = -60. (2)

Шаг 4: Решим систему уравнений (1) и (2).

У нас есть две переменные a и b:

1. 3a - b = 10 (уравнение 1)
2. (65a/4 - 5b/2) = -60 (уравнение 2)

Теперь выразим b из первого уравнения:

b = 3a - 10.

Подставим это значение во второе уравнение:

65a/4 - 5(3a - 10)/2 = -60.

Упрощаем это уравнение и решаем его для a, а затем подставляем значение a обратно в уравнение для b.

Шаг 5: Найдем значение интеграла от -π до π функции sin(x).

Интеграл от -π до π функции sin(x) равен 0. Это связано с тем, что функция sin(x) является нечетной. Нечетная функция имеет симметричный график относительно начала координат, и площадь под графиком от -π до 0 равна по модулю площади от 0 до π, но с противоположным знаком.

Обобщение:

Мы можем сделать вывод, что для нечетных функций интеграл по симметричному интервалу относительно нуля равен нулю. Это свойство полезно для быстрого вычисления интегралов таких функций без необходимости их непосредственного вычисления.