Каковы свойства функции g(x)=(x-5)⁹(x+2)⁵+(x+5)⁹(x-2)⁵ и как ее можно анализировать в различных точках?

Математика 11 класс Анализ функций и их свойства свойства функции анализ функции g(x) математический анализ точки функции поведение функции график функции корни функции многочлены производная функции Новый

Функция g(x) = (x-5)⁹(x+2)⁵ + (x+5)⁹(x-2)⁵ представляет собой сумму двух произведений полиномов. Для анализа этой функции можно рассмотреть несколько ключевых свойств, таких как области определения, нули функции, поведение на бесконечности, а также производные для нахождения экстремумов.

1. Область определения:

Функция g(x) является полиномом, следовательно, она определена для всех значений x ∈ R. Это значит, что нет ограничений на область определения.

2. Нули функции:

Нули функции g(x) определяются уравнением g(x) = 0. Для нахождения нулей можно рассмотреть каждое из слагаемых отдельно:

• (x-5)⁹(x+2)⁵ = 0, что дает x = 5 и x = -2;
• (x+5)⁹(x-2)⁵ = 0, что дает x = -5 и x = 2.

Таким образом, нули функции g(x) находятся в точках x = -5, -2, 2 и 5.

3. Поведение на бесконечности:

Для анализа поведения функции g(x) при x → ±∞, следует обратить внимание на степень полиномов. Наибольшая степень в каждом слагаемом равна 14 (9 + 5), что означает, что функция g(x) будет вести себя как полином степени 14 на бесконечности. Таким образом:

• При x → +∞, g(x) → +∞;
• При x → -∞, g(x) → +∞.

4. Производные и экстремумы:

Для нахождения экстремумов функции g(x) необходимо вычислить первую производную g'(x) и определить критические точки, где g'(x) = 0. После нахождения критических точек следует использовать вторую производную g''(x) для определения характера этих точек (максимумы или минимумы).

5. Анализ функции в различных точках:

Для анализа функции g(x) в конкретных точках можно подставить значения x, равные нулям функции и критическим точкам, чтобы определить значения g(x) и характер поведения функции в этих точках:

• g(-5), g(-2), g(2), g(5) - значения функции в нулях;
• g'(x) в критических точках - для определения локальных максимумов и минимумов.

В заключение, функция g(x) обладает несколькими важными свойствами, которые можно анализировать через изучение её нулей, поведения на бесконечности, производных и значений в конкретных точках. Это позволяет получить полное представление о её графике и характере изменений.