Каковы значения A и B, при которых следующее тождество является верным: 2x⁵ - x⁴ - 2x + 1 = (x² + 1)(2x³ + Ax² + Bx + 1)?

Математика 11 класс Алгебраические тождества значения a и b тождество 2x⁵ - x⁴ - 2x + 1 (x² + 1)(2x³ + Ax² + Bx + 1) математика 11 класс Новый

Чтобы найти значения A и B, при которых данное тождество верно, начнем с раскрытия скобок в правой части уравнения:

Дано тождество:

2x⁵ - x⁴ - 2x + 1 = (x² + 1)(2x³ + Ax² + Bx + 1)

Раскроем правую часть:

1. Умножим (x² + 1) на (2x³ + Ax² + Bx + 1):
2. Результат будет:
• x² * 2x³ = 2x⁵
• x² * Ax² = Ax⁴
• x² * Bx = Bx³
• x² * 1 = x²
• 1 * 2x³ = 2x³
• 1 * Ax² = Ax²
• 1 * Bx = Bx
• 1 * 1 = 1

Теперь сложим все эти результаты:

2x⁵ + (A)x⁴ + (B + 2)x³ + (A + 1)x² + 1

Теперь у нас есть два многочлена:

2x⁵ - x⁴ - 2x + 1 и 2x⁵ + Ax⁴ + (B + 2)x³ + (A + 1)x² + 1

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

• Коэффициент при x⁵: 2 = 2 (это верно)
• Коэффициент при x⁴: -1 = A
• Коэффициент при x³: 0 = B + 2
• Коэффициент при x²: 0 = A + 1
• Коэффициент при x⁰: 1 = 1 (это верно)

Теперь решим систему уравнений:

1. Из уравнения A = -1, мы получаем:
2. Подставим A в уравнение A + 1 = 0:
• -1 + 1 = 0 (это верно)
3. Теперь подставим A в уравнение 0 = B + 2:
• 0 = B + 2 => B = -2

Таким образом, мы нашли значения:

A = -1

B = -2

Ответ: A = -1, B = -2.