Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть многочлен P3(x) = x^3 + ax^2 + bx + 12. Нам даны условия, что остаток при делении на (x - 1) равен -12, а остаток при делении на (x + 1) равен -6. Это означает, что:

• P3(1) = -12
• P3(-1) = -6

Теперь подставим x = 1 в многочлен P3(x):

1. P3(1) = 1^3 + a(1^2) + b(1) + 12 = 1 + a + b + 12 = a + b + 13.
2. По условию, P3(1) = -12, следовательно, мы можем записать уравнение:
3. a + b + 13 = -12.
4. Упростим это уравнение:
5. a + b = -12 - 13 = -25.

Теперь подставим x = -1 в многочлен P3(x):

1. P3(-1) = (-1)^3 + a(-1^2) + b(-1) + 12 = -1 + a - b + 12 = a - b + 11.
2. По условию, P3(-1) = -6, следовательно, мы можем записать второе уравнение:
3. a - b + 11 = -6.
4. Упростим это уравнение:
5. a - b = -6 - 11 = -17.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) a + b = -25
• 2) a - b = -17

Решим эту систему уравнений. Сначала сложим оба уравнения:

1. (a + b) + (a - b) = -25 - 17.
2. 2a = -42.
3. a = -21.

Теперь подставим значение a в одно из уравнений, например, в первое:

1. -21 + b = -25.
2. b = -25 + 21 = -4.

Таким образом, мы нашли значения коэффициентов:

• a = -21
• b = -4

Ответ: a = -21, b = -4.