Чтобы найти коэффициент при x^3 в биномиальном разложении выражения (x - 1)^7, мы можем воспользоваться формулой биномиального разложения, которая выглядит следующим образом:

(a + b)^n = Σ (C(n, k) * a^(n-k) * b^k)

где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

В нашем случае a = x, b = -1 и n = 7. Мы хотим найти коэффициент при x^3, то есть нам нужно, чтобы степень x была равна 3. Это значит, что степень (-1) должна быть равна 7 - 3 = 4.

Теперь мы можем записать, что k = 4 (это степень, соответствующая -1), а n - k = 3 (это степень, соответствующая x).

Теперь подставим значения в формулу:

• n = 7
• k = 4

Теперь найдем биномиальный коэффициент C(7, 4):

C(7, 4) = 7! / (4! * (7 - 4)!) = 7! / (4! * 3!)

Вычислим факториалы:

• 7! = 7 * 6 * 5 * 4!
• 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
• 3! = 3 * 2 * 1 = 6

Теперь подставим в формулу:

C(7, 4) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (4! * 6) = (7 * 6 * 5) / 6 = 7 * 5 = 35

Теперь, когда мы нашли биномиальный коэффициент, мы можем найти коэффициент при x^3 в разложении:

Коэффициент при x^3 будет равен:

C(7, 4) * (-1)^4 = 35 * 1 = 35

Таким образом, коэффициент при x^3 в биномиальном разложении выражения (x - 1)^7 равен 35.