Какой максимальный коэффициент многочлена (3 + 2х)^2016 будет получен после раскрытия скобок и приведения подобных членов?

Математика 11 класс Многочлены и биномиальная теорема коэффициент многочлена раскрытие скобок математика 11 класс многочлен степени 2016 подобные члены Новый

Чтобы найти максимальный коэффициент многочлена, полученного из выражения (3 + 2х)^2016, мы можем использовать формулу бинома Ньютона. По этой формуле, общее выражение для раскрытия скобок выглядит так:

(a + b)^n = Σ (C(n, k) * a^(n-k) * b^k),

где C(n, k) — это биномиальный коэффициент, a и b — это члены выражения, n — степень, k — номер члена в сумме.

В нашем случае a = 3, b = 2x и n = 2016. Таким образом, мы можем записать:

(3 + 2x)^2016 = Σ (C(2016, k) * 3^(2016-k) * (2x)^k).

Теперь упростим это выражение:

(3 + 2x)^2016 = Σ (C(2016, k) * 3^(2016-k) * 2^k * x^k).

Коэффициент при x^k будет равен:

C(2016, k) * 3^(2016-k) * 2^k.

Теперь нам нужно найти максимальный коэффициент, который зависит от k. Для этого мы можем использовать свойство, что максимальный коэффициент биномиального распределения достигается при k, равном n/2, если n четное.

В нашем случае n = 2016, что является четным числом. Таким образом, максимальный коэффициент будет при k = 1008:

• k = 1008
• n - k = 2016 - 1008 = 1008

Теперь подставим k = 1008 в формулу для коэффициента:

C(2016, 1008) * 3^(1008) * 2^(1008).

Теперь давайте вычислим этот коэффициент:

C(2016, 1008) — это биномиальный коэффициент, который можно найти по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).

Однако для нахождения максимального коэффициента нам не обязательно вычислять его значение, так как мы можем оставить его в виде произведения.

Итак, максимальный коэффициент многочлена (3 + 2x)^2016 будет равен:

C(2016, 1008) * 3^1008 * 2^1008.

Таким образом, максимальный коэффициент многочлена равен:

C(2016, 1008) * (3 * 2)^1008 = C(2016, 1008) * 6^1008.

Это и есть ответ на ваш вопрос.