Чтобы найти объём шара, в который вписан куб, мы должны сначала понять, как связаны площадь диагонального сечения куба и радиус шара.

1. Определим сторону куба:

• Пусть сторона куба равна a.
• Площадь диагонального сечения куба (это квадрат, образованный диагоналями) можно найти по формуле: S = a² + a² = 2a².
• Таким образом, a² = S/2, и отсюда a = √(S/2).

2. Найдём радиус шара:

• Диагональ куба d вычисляется по формуле: d = a√3.
• Радиус шара R равен половине диагонали куба: R = d/2 = (a√3)/2.
• Подставим значение a: R = (√(S/2) * √3) / 2 = √(3S/8).

3. Теперь найдем объём шара:

• Формула для объёма шара V = (4/3)πR³.
• Подставим значение R: V = (4/3)π(√(3S/8))³.
• Вычислим R³: R³ = (3S/8)^(3/2) = (3√S³)/(8√8) = (3√S³)/(8 * 2√2) = (3√S³)/(16√2).
• Теперь подставляем R³ в формулу для объёма: V = (4/3)π * (3√S³)/(16√2).
• Упрощаем: V = (π√S³)/(4√2).

Таким образом, объём шара, вписанного в куб с площадью диагонального сечения S, равен:

V = (π√S³)/(4√2).