Какой остаток получается при делении числа 10 в степени 2010 плюс 12 в степени 2012 на 11?

Математика 11 класс Остатки при делении остаток при делении число 10 в степени 2010 число 12 в степени 2012 деление на 11 математика 11 класс Новый

Для нахождения остатка от деления числа 10 в степени 2010 плюс 12 в степени 2012 на 11, мы будем использовать свойства деления и теорему Ферма.

Сначала найдем остаток от деления 10 в степени 2010 на 11:

• Согласно теореме Ферма, если p - простое число, то для любого целого числа a, которое не делится на p, выполняется равенство: a^(p-1) ≡ 1 (mod p).
• В нашем случае, p = 11 и a = 10. Так как 10 не делится на 11, мы можем применить теорему Ферма.
• По теореме Ферма, 10^(11-1) = 10^10 ≡ 1 (mod 11).
• Теперь найдем, сколько раз 10 помещается в 2010: 2010 = 10 * 201, остаток 0. Это означает, что 10^(2010) = (10^10)^201 ≡ 1^201 ≡ 1 (mod 11).

Таким образом, остаток от деления 10^2010 на 11 равен 1.

Теперь найдем остаток от деления 12 в степени 2012 на 11:

• Сначала найдем остаток 12 при делении на 11: 12 ≡ 1 (mod 11).
• Теперь мы можем написать: 12^2012 ≡ 1^2012 ≡ 1 (mod 11).

Таким образом, остаток от деления 12^2012 на 11 также равен 1.

Теперь сложим оба остатка:

• Остаток от 10^2010 на 11: 1
• Остаток от 12^2012 на 11: 1

Сложим эти остатки: 1 + 1 = 2.

Следовательно, остаток от деления (10^2010 + 12^2012) на 11 равен 2.

Ответ: 2