Какой путь пройдет точка от начала движения до момента остановки, если скорость ее движения изменяется по закону V=36t-12t²?

Математика 11 класс Интегрирование и движение по кривой путь точки скорость движения закон движения изменение скорости момент остановки математические задачи физика и математика Новый

Для того чтобы найти путь, который пройдет точка от начала движения до момента остановки, нам нужно сначала определить, когда точка остановится. Это происходит в тот момент, когда скорость станет равной нулю.

Итак, у нас есть закон изменения скорости:

V = 36t - 12t²

Чтобы найти момент остановки, приравняем скорость к нулю:

0 = 36t - 12t²

Теперь решим это уравнение:

1. Переносим все члены в одну сторону:
2. 12t² - 36t = 0
3. Факторизуем уравнение:
4. 12t(t - 3) = 0

Теперь мы можем найти корни этого уравнения:

• t = 0 (начальный момент времени)
• t - 3 = 0, следовательно, t = 3 (момент остановки)

Теперь мы знаем, что точка остановится в момент времени t = 3 секунды. Следующий шаг - найти путь, который она прошла за это время. Для этого нам нужно найти перемещение, интегрируя скорость по времени.

Путь S можно найти по формуле:

S = ∫V dt

Подставим выражение для V:

S = ∫(36t - 12t²) dt

Теперь вычислим интеграл:

1. Интегрируем 36t:
2. Интеграл от 36t равен 18t².
3. Интегрируем -12t²:
4. Интеграл от -12t² равен -4t³.

Таким образом, получаем:

S = 18t² - 4t³ + C

Поскольку мы ищем путь, начиная с момента времени t = 0, мы можем взять C = 0 (начальная позиция равна нулю).

Теперь подставим t = 3 в формулу для пути:

S = 18(3)² - 4(3)³

S = 18(9) - 4(27)

S = 162 - 108 = 54

Таким образом, путь, который пройдет точка от начала движения до момента остановки, равен 54 метра.