Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства вписанного шара в треугольник. Вписанный шар касается всех трех сторон треугольника, и радиус этого шара можно найти, используя формулу, которая связывает площадь треугольника и его полупериметр.

Шаг 1: Найдем полупериметр треугольника ABC.

• Сначала вычислим периметр треугольника ABC:
• P = AB + BC + AC = 8 см + 10 см + 12 см = 30 см.
• Теперь найдем полупериметр:
• s = P / 2 = 30 см / 2 = 15 см.

Шаг 2: Найдем площадь треугольника ABC.

Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу Герона:

• Площадь (S) = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)),где a, b, c - длины сторон треугольника.
• В нашем случае a = 8 см, b = 10 см, c = 12 см.
• Подставим значения:
• S = √(15 * (15 - 8) * (15 - 10) * (15 - 12)) = √(15 * 7 * 5 * 3).
• Теперь вычислим это значение:
• S = √(15 * 7 * 5 * 3) = √(1575) = 15√7 ≈ 39.686 см².

Шаг 3: Найдем радиус вписанного шара.

Радиус вписанного шара (r) можно найти по формуле:

r = S / s, где S - площадь треугольника, s - полупериметр.

• Теперь подставим наши значения:
• r = S / s = (15√7) / 15 = √7.
• Приблизительно это равно 2.645 см.

Шаг 4: Учитываем расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

В задаче указано, что расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 2 см. Это расстояние добавляется к радиусу шара, чтобы получить полный радиус шара, который касается плоскости:

• Таким образом, полный радиус шара R = r + расстояние от центра до плоскости = √7 + 2.
• Приблизительно это будет 2.645 см + 2 см = 4.645 см.

Ответ: Радиус шара равен приблизительно 4.645 см.