Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе у = х² — 3х + 5, проведенная в точке М(2; 3)? Напишите уравнение этой касательной.

Математика 11 класс Касательная к кривой угол касательной ось абсцисс парабола Уравнение касательной точка касания производная функции Новый

Для решения задачи мы начнем с нахождения производной функции, которая описывает параболу. Данное уравнение параболы выглядит так:

y = x² - 3x + 5

Шаг 1: Найдем производную функции. Производная функции y по x будет:

y' = 2x - 3

Шаг 2: Теперь подставим координату x точки М(2; 3) в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной в этой точке:

y'(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен 1.

Шаг 3: Теперь мы можем записать уравнение касательной, используя формулу:

y - y₀ = m(x - x₀)

где (x₀, y₀) - это точка касания (в нашем случае М(2, 3)), а m - угловой коэффициент (в нашем случае 1).

Подставим известные значения:

y - 3 = 1(x - 2)

Шаг 4: Упростим уравнение касательной:

y - 3 = x - 2

y = x + 1

Таким образом, уравнение касательной к параболе в точке М(2; 3) будет:

y = x + 1

Шаг 5: Теперь найдем угол, который образует касательная с осью абсцисс. Угол α между касательной и осью абсцисс можно найти с помощью тангенса угла:

tan(α) = m

где m - угловой коэффициент касательной. В нашем случае m = 1, тогда:

tan(α) = 1

Шаг 6: Теперь найдем угол α:

α = arctan(1) = 45°

Таким образом, угол, который образует касательная к параболе с осью абсцисс, равен 45°. В итоге, мы получили:

• Уравнение касательной: y = x + 1
• Угол с осью абсцисс: 45°