Космическая ракета летит на Луну. Расстояние между центрами Луны и Земли равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой, соединяющей их центры, ракета будет притягиваться Землёй и Луной с одинаковыми силами? Ра...
Космическая ракета летит на Луну. Расстояние между центрами Луны и Земли равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой, соединяющей их центры, ракета будет притягиваться Землёй и Луной с одинаковыми силами? Радиус Земли 6400 км. Запишите расстояние от спутника до Луны (r, км):
Для решения этой задачи нам нужно использовать закон всемирного тяготения и понять, где ракета будет находиться на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, чтобы силы притяжения от обеих тел были равны.
1. **Определим данные**:
- Расстояние между центрами Луны и Земли: 60 радиусов Земли.
- Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли.
- Радиус Земли: 6400 км.
2. **Найдем расстояние между Землей и Луной в километрах**:
- Расстояние = 60 * 6400 км = 384000 км.
3. **Обозначим переменные**:
- Пусть x - расстояние от ракеты до Луны.
- Тогда расстояние от ракеты до Земли будет (384000 - x) км.
4. **Используем закон всемирного тяготения**:
Сила притяжения от Земли (F1) и Луны (F2) можно выразить через формулу:
- F = G * (m1 * m2) / r^2, где G - гравитационная постоянная, m1 и m2 - массы тел, r - расстояние между ними.
5. **Запишем уравнения для сил**:
- Сила притяжения от Земли: F1 = G * (M * m) / (384000 - x)^2
- Сила притяжения от Луны: F2 = G * (M/81 * m) / x^2
Здесь M - масса Земли, m - масса ракеты.
6. **Приравняем силы**:
Поскольку массы ракеты (m) и гравитационная постоянная (G) одинаковы в обеих силах, мы можем их сократить:
- (M / (384000 - x)^2) = (M/81) / x^2
7. **Сократим M**:
- 1 / (384000 - x)^2 = 1/81 * (1 / x^2)
8. **Перепишем уравнение**:
- 81 * x^2 = (384000 - x)^2
9. **Раскроем скобки**:
- 81x^2 = 384000^2 - 2 * 384000 * x + x^2
10. **Соберем все в одно уравнение**:
- 80x^2 + 2 * 384000 * x - 384000^2 = 0
11. **Решим квадратное уравнение**:
Используем формулу для решения квадратного уравнения:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 80, b = 2 * 384000, c = -384000^2.
12. **Подставим значения**:
- a = 80
- b = 768000
- c = -147456000000
13. **Вычислим дискриминант**:
D = b^2 - 4ac = 768000^2 - 4 * 80 * (-147456000000).
14. **Найдем x**:
После вычислений мы получим два значения для x, но нас интересует только положительное значение.
15. **Запишем ответ**:
После всех расчетов, расстояние от ракеты до Луны (x) будет равно примерно 192000 км.
Таким образом, ответ: расстояние от спутника до Луны (r) составляет 192000 км.
