Кто бы победил в споре, если бы Сеня утверждал, что может построить граф из 100 вершин, у которых степени вершин равны 1, 1, 2, 2, ..., 50, 50?

Математика 11 класс Теория графов граф из 100 вершин степени вершин математический спор построение графа свойства графов задачи по математике комбинаторика теория графов Новый

Чтобы понять, может ли Сеня построить граф с заданными степенями вершин, нам нужно использовать некоторые свойства теории графов.

Шаг 1: Подсчет суммы степеней вершин

• Сначала найдем сумму всех степеней вершин. У нас есть 100 вершин, и степени распределены следующим образом: 1, 1, 2, 2, 3, 3, ..., 50, 50.
• Пары степеней (1, 1), (2, 2), ..., (50, 50) содержат по 2 одинаковых значения. Поэтому сумма степеней можно выразить как:
• Сумма = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + ... + 50 + 50 = 2 * (1 + 2 + 3 + ... + 50).
• Сумма первых n натуральных чисел вычисляется по формуле n * (n + 1) / 2. В нашем случае n = 50, поэтому:
• Сумма = 2 * (50 * 51 / 2) = 50 * 51 = 2550.

Шаг 2: Проверка условия для существования графа

• Согласно теореме о степени вершин в графе, сумма степеней всех вершин должна быть четным числом, так как каждая грань графа соединяет две вершины и увеличивает их степени на 1.
• В нашем случае сумма степеней равна 2550, что является четным числом.

Шаг 3: Проверка на возможность построения

• Теперь нам нужно проверить, возможно ли распределить степени между 100 вершинами так, чтобы ни одна вершина не имела степени больше, чем количество оставшихся вершин.
• Максимальная степень в нашем графе равна 50. В графе из 100 вершин, чтобы вершина с максимальной степенью 50 могла соединиться с другими вершинами, должно быть как минимум 50 вершин с меньшими степенями.
• В нашем случае мы имеем 50 вершин со степенью 1 и 50 вершин со степенью 2 и выше, что позволяет распределить связи.

Таким образом, учитывая все вышеизложенные шаги и условия, можно утверждать, что Сеня действительно может построить граф с 100 вершинами, где степени равны 1, 1, 2, 2, ..., 50, 50.

Вывод: Сеня прав, он может построить такой граф.