Конечно! Я помогу вам с примерами по каждой из указанных тем. Давайте начнем с первой темы.

Определитель матрицы 2-го порядка (2x2) вычисляется по формуле:

det(A) = ad - bc, где A = [[a, b], [c, d]].

1. Пример 1: A = [[1, 2], [3, 4]].
   • det(A) = (1*4) - (2*3) = 4 - 6 = -2.
2. Пример 2: A = [[5, 6], [7, 8]].
   • det(A) = (5*8) - (6*7) = 40 - 42 = -2.
3. Пример 3: A = [[0, 1], [2, 3]].
   • det(A) = (0*3) - (1*2) = 0 - 2 = -2.
4. Пример 4: A = [[-1, -2], [-3, -4]].
   • det(A) = (-1*-4) - (-2*-3) = 4 - 6 = -2.
5. Пример 5: A = [[2, 3], [5, 7]].
   • det(A) = (2*7) - (3*5) = 14 - 15 = -1.

Определитель матрицы 3-го порядка (3x3) вычисляется по формуле:

det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg), где A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]].

1. Пример 1: A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]].
   • det(A) = 1*(5*9 - 6*8) - 2*(4*9 - 6*7) + 3*(4*8 - 5*7) = 1*(-3) - 2*(-6) + 3*(-3) = -3 + 12 - 9 = 0.
2. Пример 2: A = [[2, 3, 1], [4, 5, 6], [7, 8, 9]].
   • det(A) = 2*(5*9 - 6*8) - 3*(4*9 - 6*7) + 1*(4*8 - 5*7) = 2*(-3) - 3*(-6) + 1*(-3) = -6 + 18 - 3 = 9.
3. Пример 3: A = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]].
   • det(A) = 1*(1*1 - 0*0) - 0*(0*1 - 0*0) + 0*(0*0 - 1*0) = 1.
4. Пример 4: A = [[1, 2, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 1]].
   • det(A) = 1*(1*1 - 0*0) - 2*(0*1 - 0*1) + 1*(0*0 - 1*1) = 1 - 0 - 1 = 0.
5. Пример 5: A = [[3, 2, 1], [1, 0, 2], [0, 1, 1]].
   • det(A) = 3*(0*1 - 2*1) - 2*(1*1 - 2*0) + 1*(1*1 - 0*0) = 3*(-2) - 2*1 + 1*1 = -6 - 2 + 1 = -7.

Правило Крамера используется для решения систем линейных уравнений. Для системы из двух уравнений:

ax + by = e

cx + dy = f

Решения находятся по формулам:

x = det(Ax)/det(A), y = det(Ay)/det(A), где A - матрица коэффициентов, Ax и Ay - матрицы с замененными столбцами.

1. Пример 1: 2x + 3y = 5, 4x + y = 11.
   • det(A) = 2*1 - 3*4 = 2 - 12 = -10.
   • Ax = [[5, 3], [11, 1]], det(Ax) = 5*1 - 3*11 = 5 - 33 = -28.
   • Ay = [[2, 5], [4, 11]], det(Ay) = 2*11 - 5*4 = 22 - 20 = 2.
   • x = -28 / -10 = 2.8, y = 2 / -10 = -0.2.
2. Пример 2: x + 2y = 3, 2x + 3y = 5.
   • det(A) = 1*3 - 2*2 = 3 - 4 = -1.
   • Ax = [[3, 2], [5, 3]], det(Ax) = 3*3 - 2*5 = 9 - 10 = -1.
   • Ay = [[1, 3], [2, 5]], det(Ay) = 1*5 - 3*2 = 5 - 6 = -1.
   • x = -1 / -1 = 1, y = -1 / -1 = 1.
3. Пример 3: 3x + 4y = 10, 2x + y = 3.
   • det(A) = 3*1 - 4*2 = 3 - 8 = -5.
   • Ax = [[10, 4], [3, 1]], det(Ax) = 10*1 - 4*3 = 10 - 12 = -2.
   • Ay = [[3, 10], [2, 3]], det(Ay) = 3*3 - 10*2 = 9 - 20 = -11.
   • x = -2 / -5 = 0.4, y = -11 / -5 = 2.2.
4. Пример 4: 5x + 6y = 12, 2x + 3y = 8.
   • det(A) = 5*3 - 6*2 = 15 - 12 = 3.
   • Ax = [[12, 6], [8, 3]], det(Ax) = 12*3 - 6*8 = 36 - 48 = -12.
   • Ay = [[5, 12], [2, 8]], det(Ay) = 5*8 - 12*2 = 40 - 24 = 16.
   • x = -12 / 3 = -4, y = 16 / 3 = 5.33.
5. Пример 5: 7x + 8y = 14, 3x + 4y = 6.
   • det(A) = 7*4 - 8*3 = 28 - 24 = 4.
   • Ax = [[14, 8], [6, 4]], det(Ax) = 14*4 - 8*6 = 56 - 48 = 8.
   • Ay = [[7, 14], [3, 6]], det(Ay) = 7*6 - 14*3 = 42 - 42 = 0.
   • x = 8 / 4 = 2, y = 0 / 4 = 0.

Метод Гаусса используется для решения систем линейных уравнений. Он включает в себя приведение матрицы к ступенчатому виду.

1. Пример 1:
   • Система:

     2x + 3y = 5

     4x + y = 11

   • Приведем к ступенчатому виду:

     2x + 3y = 5

     0x - 5y = 1 (после вычитания 2-го уравнения из 1-го).

   • Решение: y = -0.2, подставляем в 1-е уравнение: 2x + 3*(-0.2) = 5, x = 2.8.
2. Пример 2:
   • Система:

     x + 2y = 3

     2x + 3y = 5

   • Приведем к ступенчатому виду:

     x + 2y = 3

     0x + -1y = -1 (после вычитания 2-го уравнения из 1-го).

   • Решение: y = 1, подставляем в 1-е уравнение: x + 2*1 = 3, x = 1.
3. Пример 3:
   • Система:

     3x + 4y = 10

     2x + y = 3

   • Приведем к ступенчатому виду:

     3x + 4y = 10

     0x - 5y = -4 (после вычитания 2-го уравнения из 1-го).

   • Решение: y = 0.8, подставляем в 1-е уравнение: 3x + 4*0.8 = 10, x = 1.4.
4. Пример 4:
   • Система:

     5x + 6y = 12

     2x + 3y = 8

   • Приведем к ступенчатому виду:

     5x + 6y = 12

     0x + 0y = -4 (после вычитания 2-го уравнения из 1-го).

   • Решение: нет решения.
5. Пример 5:
   • Система:

     7x + 8y = 14

     3x + 4y = 6

   • Приведем к ступенчатому виду:

     7x + 8y = 14

     0x + 0y = 0 (после вычитания 3-го уравнения из 1-го).

   • Решение: бесконечно много решений.

Сложение и вычитание матриц выполняется поэлементно.

1. Пример 1:
   • A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[5, 6], [7, 8]].

     A + B = [[1+5, 2+6], [3+7, 4+8]] = [[6, 8], [10, 12]].

2. Пример 2:
   • A = [[2, 3], [4, 5]], B = [[1, 1], [1, 1]].

     A - B = [[2-1, 3-1], [4-1, 5-1]] = [[1, 2], [3, 4]].

3. Пример 3:
   • A = [[0, 0], [0, 0]], B = [[1, 1], [1, 1]].

     A + B = [[0+1, 0+1], [0+1, 0+1]] = [[1, 1], [1, 1]].

4. Пример 4:
   • A = [[5, 5], [5, 5]], B = [[2, 3], [4, 1]].

     A - B = [[5-2, 5-3], [5-4, 5-1]] = [[3, 2], [1, 4]].

5. Пример 5:
   • A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]], B = [[7, 8, 9], [10, 11, 12]].

     A + B = [[1+7, 2+8, 3+9], [4+10, 5+11, 6+12]] = [[8, 10, 12], [14, 16, 18]].

Умножение матрицы A размером m x n на матрицу B размером n x p осуществляется по формуле:

C[i][j] = sum(A[i][k] * B[k][j]), где k = 1..n.

1. Пример 1:
   • A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[5, 6], [7, 8]].

     C = [[1*5 + 2*7, 1*6 + 2*8], [3*5 + 4*7, 3*6 + 4*8]] = [[19, 22], [43, 50]].

2. Пример 2:
   • A = [[1, 0], [0, 1]], B = [[2, 3], [4, 5]].

     C = [[1*2 + 0*4, 1*3 + 0*5], [0*2 + 1*4, 0*3 + 1*5]] = [[2, 3], [4, 5]].

3. Пример 3:
   • A = [[0, 1], [2, 3]], B = [[4, 5], [6, 7]].

     C = [[0*4 + 1*6, 0*5 + 1*7], [2*4 + 3*6, 2*5 + 3*7]] = [[6, 7], [38, 43]].

4. Пример 4:
   • A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]], B = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]].

     C = [[1*7 + 2*9 + 3*11, 1*8 + 2*10 + 3*12], [4*7 + 5*9 + 6*11, 4*8

Конечно! Давайте разберем каждый из указанных вами тем и приведем по 5 примеров с решениями. Начнем с первой темы.

1. Определитель 2-го порядка

Определитель 2-го порядка для матрицы вида:

A = | a b |
| c d |

вычисляется по формуле: det(A) = ad - bc.

1. Пример 1: A = | 1 2 |
   | 3 4 |
   det(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2
2. Пример 2: A = | 5 6 |
   | 7 8 |
   det(A) = 5*8 - 6*7 = 40 - 42 = -2
3. Пример 3: A = | 0 1 |
   | 2 3 |
   det(A) = 0*3 - 1*2 = 0 - 2 = -2
4. Пример 4: A = | -1 2 |
   | 3 5 |
   det(A) = -1*5 - 2*3 = -5 - 6 = -11
5. Пример 5: A = | 4 0 |
   | 0 5 |
   det(A) = 4*5 - 0*0 = 20 - 0 = 20

2. Определитель 3-го порядка

Определитель 3-го порядка для матрицы вида:

A = | a b c |
| d e f |
| g h i |

вычисляется по формуле: det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).

1. Пример 1: A = | 1 2 3 |
   | 4 5 6 |
   | 7 8 9 |
   det(A) = 1(5*9 - 6*8) - 2(4*9 - 6*7) + 3(4*8 - 5*7) = 0
2. Пример 2: A = | 2 3 1 |
   | 1 0 4 |
   | 5 6 7 |
   det(A) = 2(0*7 - 4*6) - 3(1*7 - 4*5) + 1(1*6 - 0*5) = -72 + 27 + 6 = -39
3. Пример 3: A = | 0 1 2 |
   | 3 4 5 |
   | 6 7 8 |
   det(A) = 0 - 1(3*8 - 5*6) + 2(3*7 - 4*6) = 0 + 6 + 6 = 12
4. Пример 4: A = | 1 1 1 |
   | 2 2 2 |
   | 3 3 3 |
   det(A) = 0
5. Пример 5: A = | 2 0 1 |
   | 1 3 1 |
   | 4 5 6 |
   det(A) = 2(3*6 - 1*5) - 0 + 1(1*5 - 3*4) = 2(18 - 5) + (5 - 12) = 26 - 7 = 19

3. Правило Крамера

Правило Крамера позволяет решать систему линейных уравнений с помощью определителей.

1. Пример 1: Система:
   x + 2y = 5
   3x + 4y = 11
   Определитель D = | 1 2 |
   | 3 4 | = -2.
   D_x = | 5 2 |
   | 11 4 | = -2.
   D_y = | 1 5 |
   | 3 11 | = 2.
   x = D_x / D = 1, y = D_y / D = -1.
2. Пример 2: Система:
   2x + 3y = 8
   4x + 5y = 14
   D = -2, D_x = 2, D_y = 0.
   x = -1, y = 0.
3. Пример 3: Система:
   x - y = 1
   2x + y = 5
   D = -3, D_x = -1, D_y = 3.
   x = 1/3, y = 1/3.
4. Пример 4: Система:
   3x + 2y = 6
   2x + 3y = 8
   D = 5, D_x = 8, D_y = 10.
   x = 8/5, y = 2/5.
5. Пример 5: Система:
   x + y = 3
   2x + y = 4
   D = -1, D_x = 2, D_y = 1.
   x = 2, y = 1.

4. Метод Гаусса

Метод Гаусса позволяет решать системы линейных уравнений, приводя матрицу к ступенчатому виду.

1. Пример 1: Система:
   x + 2y = 5
   3x + 4y = 11
   Приводим к виду:
   1 2 | 5
   0 0 | 0
   Ответ: x = 1, y = 2.
2. Пример 2: Система:
   2x + 3y = 8
   4x + 5y = 14
   Приводим к виду:
   1 1.5 | 4
   0 0 | 0
   Ответ: x = 1, y = 2.
3. Пример 3: Система:
   x - y = 1
   2x + y = 5
   Приводим к виду:
   1 -1 | 1
   0 3 | 3
   Ответ: x = 2, y = 1.
4. Пример 4: Система:
   3x + 2y = 6
   2x + 3y = 8
   Приводим к виду:
   1 0.67 | 2
   0 0.33 | 2
   Ответ: x = 1, y = 2.
5. Пример 5: Система:
   x + y = 3
   2x + y = 4
   Приводим к виду:
   1 1 | 3
   0 1 | 1
   Ответ: x = 2, y = 1.

5. Сложение и вычитание матриц

Сложение и вычитание матриц производится поэлементно.

1. Пример 1: A = | 1 2 |, B = | 3 4 |
   A + B = | 1+3 2+4 | = | 4 6 |
2. Пример 2: A = | 5 6 |, B = | 1 2 |
   A - B = | 5-1 6-2 | = | 4 4 |
3. Пример 3: A = | 0 1 |, B = | 2 3 |
   A + B = | 0+2 1+3 | = | 2 4 |
4. Пример 4: A = | -1 2 |, B = | 3 5 |
   A - B = | -1-3 2-5 | = | -4 -3 |
5. Пример 5: A = | 4 0 |, B = | 0 5 |
   A + B = | 4+0 0+5 | = | 4 5 |

6. Умножение матриц

Умножение матриц выполняется по правилам: число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй матрицы.

1. Пример 1: A = | 1 2 |, B = | 3 4 |
   AB = | 1*3 + 2*0 1*4 + 2*0 | = | 3 4 |
2. Пример 2: A = | 2 0 |, B = | 1 3 |
   AB = | 2*1 + 0*0 2*3 + 0*0 | = | 2 6 |
3. Пример 3: A = | 0 1 |, B = | 2 3 |
   AB = | 0*2 + 1*0 0*3 + 1*0 | = | 0 0 |
4. Пример 4: A = | 3 2 |, B = | 1 4 |
   AB = | 3*1 + 2*0 3*4 + 2*0 | = | 3 12 |
5. Пример 5: A = | 1 2 |, B = | 0 5 |
   AB = | 1*0 + 2*0 1*5 + 2*0 | = | 0 5 |

7. Обратная матрица

Обратная матрица A^-1 для матрицы A вычисляется по формуле: A^-1 = 1/det(A) * adj(A).

1. Пример 1: A = | 1 2 |
   det(A) = -2, A^-1 = 1/-2 * | 4 -2 | = | -2 1 |
2. Пример 2: A = | 2 3 |
   det(A) = -3, A^-1 = 1/-3 * | 5 -3 | = | -5/3 1 |
3. Пример 3: A = | 0 1 |
   det(A) = 0, обратная матрица не существует.
4. Пример 4: A = | 4 0 |
   det(A) = 20, A^-1 = 1/20 * | 0 5 | = | 0 1/4 |
5. Пример 5: A = | 1 1 |
   det(A) = 0, обратная матрица не существует.

8. Производное высшего порядка

Производные высшего порядка – это производные от производных.

1. Пример 1: f(x) = x^3.
   f'(x) = 3x^2, f''(x) = 6x, f'''(x) = 6.
2. Пример 2: f(x) = sin(x).
   f'(x) = cos(x), f''(x) = -sin(x), f'''(x) = -cos(x).
3. Пример 3: f(x) = e^x.
   f'(x) = e^x, f''(x) = e^x, f'''(x) = e^x.
4. Пример 4: f(x) = ln(x).
   f'(x) = 1/x, f''(x) = -1/x^2, f'''(x) = 2/x^3.
5. Пример 5: f(x) = x^4.
   f'(x) = 4x^3, f''(x) = 12x^2, f'''(x) = 24x.

9. Определённый и неопределённый интеграл

Неопределенный интеграл – это общее решение, определенный интеграл – это численное значение.

1. Пример 1: ∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C.
   Определенный: ∫[1, 2] x^2 dx = [1/3 * 2^3 - 1/3 * 1^3] = 7/3.
2. Пример 2: ∫sin(x) dx = -cos(x) + C.
   Определенный: ∫[0, π] sin(x) dx = [0 - (-1)] = 1.
3. Пример 3: ∫e^x dx = e^x + C.
   Определенный: ∫[0, 1] e^x dx = [e - 1].
4. Пример 4: ∫1/x dx = ln|x| + C.
   Определенный: ∫[1, 2] 1/x dx = ln(2) - ln(1) = ln(2).
5. Пример 5: ∫cos(x) dx = sin(x) + C.
   Определенный: ∫[0, π/2] cos(x) dx = [1 - 0] = 1.

Вот такие примеры по каждой из тем. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, пожалуйста, дайте знать!