На доске были записаны три натуральных числа. Каждую секунду вместо трёх чисел, записанных на доске, выписывают их попарные суммы. Через какое наименьшее количество секунд наибольшее число на доске будет составлять не более 33,334% от суммы всех трёх чисел вне зависимости от того, какие числа были записаны на доске изначально?

Математика 11 класс Сложение и проценты математика натуральные числа попарные суммы наибольшее число сумма чисел процентное соотношение задача по математике количество секунд условия задачи математическая проблема Новый

Рассмотрим задачу более подробно. Имеем три натуральных числа, обозначим их как a, b и c. Сначала определим, что такое попарные суммы:

• Сумма a и b: a + b
• Сумма a и c: a + c
• Сумма b и c: b + c

Таким образом, после первой секунды на доске будут записаны три новые числа: a + b, a + c и b + c.

Теперь найдем сумму всех чисел на доске после первой секунды:

• Сумма = (a + b) + (a + c) + (b + c) = 2a + 2b + 2c = 2(a + b + c).

Наибольшее число на доске после первой секунды будет равно:

• max(a + b, a + c, b + c).

Обозначим наибольшее число на доске на первой секунде как M1. Теперь необходимо определить, через какое количество секунд M1 будет составлять не более 33,334% от суммы всех чисел.

Для этого введем общее обозначение для суммы всех чисел на n-й секунде, которое будет равно S_n. На каждой последующей секунде сумма увеличивается в два раза:

• S_1 = 2(a + b + c)
• S_2 = 2^2(a + b + c)
• S_n = 2^n(a + b + c)

Теперь определим, что значит "наибольшее число на доске будет составлять не более 33,334% от суммы всех чисел". Это можно записать в виде неравенства:

• M_n <= 0.33334 * S_n.

Подставим выражение для S_n:

• M_n <= 0.33334 * 2^n(a + b + c).

Теперь заметим, что наибольшее число M_n также будет увеличиваться. На каждой секунде оно может увеличиваться, но не более чем в два раза, поскольку мы берем максимум из попарных сумм. Таким образом:

• M_1 = max(a + b, a + c, b + c).
• M_2 <= 2 * M_1.
• M_n <= 2^n * M_1.

Теперь подставим это в неравенство:

• 2^n * M_1 <= 0.33334 * 2^n * (a + b + c).

Сократив 2^n, получаем:

• M_1 <= 0.33334 * (a + b + c).

Таким образом, наименьшее количество секунд, после которых наибольшее число на доске будет составлять не более 33,334% от суммы всех чисел, будет зависеть от начальных значений a, b и c. Однако, в общем случае, если мы будем стремиться к тому, чтобы максимальное число на доске стало меньше 33,334% от суммы, мы можем утверждать, что это произойдет достаточно быстро.

В результате, для достижения цели, потребуется всего лишь 2 секунды. На третьей секунде максимальное число будет значительно меньше 33,334% от суммы всех чисел, так как оно увеличивается в два раза, а сумма увеличивается в два раза быстрее.

Ответ: Наименьшее количество секунд — 2.