На графике функции y=x³-3x²+x+1 нужно найти точки, где касательная к графику образует угол 45° с положительным направлением оси абсцисс. Также требуется составить уравнение каждой из этих касательных. Пожалуйста, опишите процесс решения этой задачи с подробностями.

Математика 11 класс Производная функции и касательные к графику функции график функции касательная угол 45 градусов Уравнение касательной математика 11 класс нахождение точек производная функции Новый

Чтобы решить эту задачу, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем производную функции

Производная функции y = x³ - 3x² + x + 1 даст нам наклон касательной к графику в любой точке. Найдем производную:

• y' = 3x² - 6x + 1

Шаг 2: Условие для угла 45°

Касательная образует угол 45° с положительным направлением оси абсцисс, если ее наклон равен 1. Это значит, что мы должны решить уравнение:

• 3x² - 6x + 1 = 1

Шаг 3: Упростим уравнение

Упростим уравнение, вычитая 1 из обеих сторон:

• 3x² - 6x = 0

Шаг 4: Решим уравнение

Теперь мы можем вынести общий множитель:

• 3x(x - 2) = 0

Это уравнение имеет два корня:

• x = 0
• x = 2

Шаг 5: Найдем соответствующие значения y

Теперь нам нужно найти значения y для найденных x. Подставим x = 0 и x = 2 в исходную функцию:

• Для x = 0: y(0) = 0³ - 3*0² + 0 + 1 = 1
• Для x = 2: y(2) = 2³ - 3*2² + 2 + 1 = 8 - 12 + 2 + 1 = -1

Таким образом, мы получили две точки:

• (0, 1)
• (2, -1)

Шаг 6: Составим уравнения касательных

Теперь мы можем составить уравнения касательных к графику функции в этих точках. Уравнение касательной имеет вид:

• y - y₀ = m(x - x₀),

где (x₀, y₀) - координаты точки касания, а m - наклон касательной.

Для точки (0, 1):

• m = 1
• y - 1 = 1(x - 0)
• y = x + 1

Для точки (2, -1):

• m = 1
• y - (-1) = 1(x - 2)
• y + 1 = x - 2
• y = x - 3

Итак, у нас есть следующие результаты:

• Касательная в точке (0, 1): уравнение y = x + 1
• Касательная в точке (2, -1): уравнение y = x - 3

В итоге, мы нашли две точки, где касательная к графику функции образует угол 45° с положительным направлением оси абсцисс, и составили уравнения этих касательных.