2025-02-28 08:57:32
На графике функции y=x³-3x²+x+1 нужно найти точки, где касательная к графику образует угол 45° с положительным направлением оси абсцисс. Также требуется составить уравнение каждой из этих касательных. Пожалуйста, опишите процесс решения этой задачи с подробностями.
Математика 11 класс Производная функции и касательные к графику функции график функции касательная угол 45 градусов Уравнение касательной математика 11 класс нахождение точек производная функции
2025-02-28 08:57:48
Чтобы решить эту задачу, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.
Шаг 1: Найдем производную функцииПроизводная функции y = x³ - 3x² + x + 1 даст нам наклон касательной к графику в любой точке. Найдем производную:
- y' = 3x² - 6x + 1
Касательная образует угол 45° с положительным направлением оси абсцисс, если ее наклон равен 1. Это значит, что мы должны решить уравнение:
- 3x² - 6x + 1 = 1
Упростим уравнение, вычитая 1 из обеих сторон:
- 3x² - 6x = 0
Теперь мы можем вынести общий множитель:
- 3x(x - 2) = 0
Это уравнение имеет два корня:
- x = 0
- x = 2
Теперь нам нужно найти значения y для найденных x. Подставим x = 0 и x = 2 в исходную функцию:
- Для x = 0: y(0) = 0³ - 3*0² + 0 + 1 = 1
- Для x = 2: y(2) = 2³ - 3*2² + 2 + 1 = 8 - 12 + 2 + 1 = -1
Таким образом, мы получили две точки:
- (0, 1)
- (2, -1)
Теперь мы можем составить уравнения касательных к графику функции в этих точках. Уравнение касательной имеет вид:
- y - y₀ = m(x - x₀),
где (x₀, y₀) - координаты точки касания, а m - наклон касательной.
Для точки (0, 1):
- m = 1
- y - 1 = 1(x - 0)
- y = x + 1
Для точки (2, -1):
- m = 1
- y - (-1) = 1(x - 2)
- y + 1 = x - 2
- y = x - 3
- Касательная в точке (0, 1): уравнение y = x + 1
- Касательная в точке (2, -1): уравнение y = x - 3
В итоге, мы нашли две точки, где касательная к графику функции образует угол 45° с положительным направлением оси абсцисс, и составили уравнения этих касательных.
