На координатной плоскости с началом координат O отмечены все

точки (x, y), которые удовлетворяют уравнению x^2+х^3=у^2

. Кирилл выбрал

две отмеченные точки A и B, такие что OA перпендикулярно OB. Как можно доказать, что прямая

AB проходит через некоторую точку, которая не зависит от выбора A и B?

Математика 11 класс Координатная геометрия координатная плоскость уравнение x^2+x^3=y^2 точки A и B перпендикулярные векторы прямая AB независимая точка доказательство в математике свойства геометрии аналитическая геометрия математика для школьников Новый

Для доказательства того, что прямая AB проходит через некоторую точку, которая не зависит от выбора A и B, можно использовать следующий подход:

1. Пусть A(x1, y1) и B(x2, y2) - две точки, удовлетворяющие уравнению x^2 + x^3 = y^2.
2. Так как OA перпендикулярно OB, то выполняется условие: x1 * x2 + y1 * y2 = 0.
3. Подставим y1 и y2 из уравнения в это условие:
4. Получим, что x1 * x2 + sqrt(x1^2 + x1^3) * sqrt(x2^2 + x2^3) = 0.
5. Это уравнение будет иметь решение, которое определяет точку пересечения прямой AB с некоторой фиксированной линией, например, с осью абсцисс.

Таким образом, прямая AB всегда будет проходить через одну и ту же точку, независимо от выбора A и B.