На лестнице была найдена странная тетрадь с сотней утверждений. Первое утверждение гласит, что в тетради ровно одно неверное утверждение, второе — что два неверных, третье — что три неверных и так далее до сотого, которое утверждает, что все сто утверждений неверны. Сколько из этих утверждений являются верными, если таковые имеются?

Математика 11 класс Логика и математические рассуждения математика 11 класс логические задачи утверждения истинность парадокс количество верных утверждений решение задачи Новый

Для решения этой задачи давайте проанализируем каждое из утверждений. У нас есть 100 утверждений, и каждое утверждение i (где i от 1 до 100) говорит, что в тетради ровно i неверных утверждений.

Теперь рассмотрим возможные случаи:

1. Если утверждение 1 верно: Это означает, что в тетради ровно одно неверное утверждение. Но если это так, то утверждение 1 не может быть единственным верным, так как тогда все остальные утверждения (2-100) будут неверными, что противоречит утверждению 1. Следовательно, утверждение 1 не может быть верным.
2. Если утверждение 2 верно: Это значит, что в тетради ровно два неверных утверждения. Если это так, то утверждение 2 само по себе должно быть верным, а значит, два других утверждения должны быть неверными. Однако, если утверждение 2 верно, то это подразумевает, что утверждение 1 тоже неверно, и нам нужно найти еще одно неверное утверждение. Но если мы возьмем утверждение 3, оно также будет неверным, что делает утверждение 2 неверным. Следовательно, утверждение 2 также не может быть верным.
3. Аналогично, если мы проверим утверждения 3, 4, ..., 99: Мы увидим, что если утверждение i верно, то нам нужно, чтобы были i неверных утверждений, и это приведет к противоречию, так как мы всегда будем находить больше неверных утверждений, чем утверждений, которые могут быть верными.
4. Наконец, рассмотрим утверждение 100: Если оно верно, то это значит, что все 100 утверждений неверны. Но если утверждение 100 верно, то оно не может быть неверным, что создает противоречие. Следовательно, утверждение 100 также неверно.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что ни одно из утверждений не может быть верным. Все 100 утверждений являются неверными.

Ответ: В тетради нет верных утверждений, все 100 утверждений неверны.