2024-11-12 03:56:58
На рисунке изображён прямоугольный треугольник с катетами длиной 3 и 4 единичных отрезка. В этот треугольник вписаны прямоугольные треугольники, как показано на рисунке. Гипотенузы этих треугольников проходят через середины катетов предыдущих треугольников. Этот процесс продолжается бесконечно. Какова сумма площадей всех треугольников?
Математика 11 класс Бесконечные геометрические прогрессии математика 11 класс прямоугольный треугольник катеты гипотенуза площадь треугольника бесконечный процесс сумма площадей геометрия задачи по математике треугольники свойства треугольников математические задачи площадь катеты 3 и 4 вписанные треугольники
2024-11-12 03:56:58
Давайте разберемся, как найти сумму площадей всех вписанных треугольников в данном процессе.
Изначально у нас есть прямоугольный треугольник с катетами длиной 3 и 4 единичных отрезка. Площадь этого треугольника можно найти по формуле:
- Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота
Таким образом, площадь первого треугольника:
- Площадь = 1/2 * 3 * 4 = 6 квадратных единиц.
Теперь рассмотрим процесс вписывания треугольников. Каждый новый треугольник вписывается так, что его гипотенуза проходит через середины катетов предыдущего треугольника. Это значит, что каждый новый треугольник подобен предыдущему и его катеты вдвое меньше катетов предыдущего треугольника.
Если катеты уменьшаются вдвое, то площадь нового треугольника будет составлять 1/4 от площади предыдущего треугольника, так как площадь зависит от произведения катетов, а каждый катет уменьшился в 2 раза:
- Площадь следующего треугольника = 1/4 * площадь предыдущего треугольника.
Таким образом, площади треугольников образуют геометрическую прогрессию с первым членом 6 и знаменателем 1/4.
Сумма всех площадей треугольников в бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
- Сумма = a / (1 - r),
где a - первый член прогрессии (в данном случае 6), а r - знаменатель прогрессии (в данном случае 1/4).
Подставим значения в формулу:
- Сумма = 6 / (1 - 1/4) = 6 / (3/4) = 6 * (4/3) = 8
Таким образом, сумма площадей всех треугольников составляет 8 квадратных единиц.