Найди векторы AB, AC, AD и вычисли их смешанное произведение, а также объем пирамиды ABCD.

1. A(7; -4; -3)
2. B(-1; 8; -1)
3. C(-12; -1; 0)
4. D(2; 1; 4)

Математика 11 класс Векторы и объем пирамиды векторы AB векторы ac векторы AD смешанное произведение объём пирамиды координаты точек математика геометрия векторная алгебра расчет объема Новый

Привет! Давай разберемся с твоим заданием. Сначала найдем векторы AB, AC и AD.

1. Вектор AB:

   • Чтобы найти вектор AB, вычтем координаты точки A из координат точки B:
   • AB = B - A = (-1 - 7; 8 - (-4); -1 - (-3)) = (-8; 12; 2).

2. Вектор AC:

   • Аналогично, для вектора AC:
   • AC = C - A = (-12 - 7; -1 - (-4); 0 - (-3)) = (-19; 3; 3).

3. Вектор AD:

   • И для вектора AD:
   • AD = D - A = (2 - 7; 1 - (-4); 4 - (-3)) = (-5; 5; 7).

Теперь у нас есть векторы:

• AB = (-8; 12; 2)
• AC = (-19; 3; 3)
• AD = (-5; 5; 7)

Теперь давай вычислим смешанное произведение векторов AB, AC и AD. Смешанное произведение можно найти по формуле:

V = AB · (AC × AD)

Где "×" - векторное произведение, а "·" - скалярное произведение.

1. Сначала найдем векторное произведение AC и AD:

   • AC × AD = |i j k| |-19 3 3| |-5 5 7|
   • Это определитель матрицы 3x3, который можно вычислить по правилу Саррюса или разложением по строкам/столбцам:

   AC × AD = (37 - 35; -(-197 - 3(-5)); -195 - 3(-5)) = (21 - 15; 133 + 15; -95 + 15) = (6; 148; -80).

2. Теперь найдем скалярное произведение AB и (AC × AD):

   • AB · (AC × AD) = (-8; 12; 2) · (6; 148; -80) = -86 + 12148 + 2*(-80) = -48 + 1776 - 160 = 1568.

Теперь, чтобы найти объем пирамиды ABCD, нужно взять абсолютное значение смешанного произведения и разделить на 6:

Объем = |V| / 6 = |1568| / 6 = 261.33 (приблизительно).

Итак, вот что у нас получилось:

Векторы:

• AB = (-8; 12; 2)
• AC = (-19; 3; 3)
• AD = (-5; 5; 7)

Смешанное произведение: 1568

Объем пирамиды ABCD: 261.33

Если что-то непонятно, дай знать!