Не понимаю, как взять интеграл cos(2x) d(cosx). Как можно взять интеграл не по x, а по cosx? Помогите, пожалуйста.

Математика 11 класс Интегрирование по подстановке интеграл cos(2x) интеграл по cosx математика 11 класс интегрирование замена переменной Новый

Чтобы взять интеграл от функции cos(2x) по переменной cos(x), нам нужно использовать метод подстановки. Давайте разберёмся, как это сделать шаг за шагом.

1. Определим подстановку: Поскольку мы интегрируем по cos(x), давайте обозначим u = cos(x). Тогда производная этого выражения будет du = -sin(x) dx, что означает, что dx = -du/sin(x).
2. Выразим sin(x) через u: Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, следовательно, sin(x) = sqrt(1 - u^2). Мы используем положительное значение, так как для интегрирования это не имеет значения (поскольку мы рассматриваем определенный интеграл).
3. Подставим в интеграл: Теперь нам нужно выразить cos(2x) через cos(x) и sin(x). Используем формулу двойного угла: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 = 2u^2 - 1.
4. Теперь подставим все в интеграл: Получаем:

   ∫ cos(2x) d(cos(x)) = ∫ (2u^2 - 1) (-du/sqrt(1 - u^2))

5. Упростим интеграл: Теперь у нас есть интеграл в виде:

   ∫ -(2u^2 - 1) / sqrt(1 - u^2) du

6. Разделим интеграл на два интеграла:

   ∫ -(2u^2) / sqrt(1 - u^2) du + ∫ 1 / sqrt(1 - u^2) du

7. Второй интеграл: Интеграл ∫ 1 / sqrt(1 - u^2) du равен arcsin(u).
8. Первый интеграл: Интеграл ∫ -(2u^2) / sqrt(1 - u^2) du можно решить с помощью подстановки или интегрирования по частям. Это может быть немного сложнее, но результат будет связан с arcsin(u) и логарифмическими функциями.
9. Вернемся к переменной x: Не забудьте, что после интегрирования нужно будет вернуть переменную к исходной переменной x, используя u = cos(x).

Таким образом, мы можем взять интеграл cos(2x) d(cos(x)), используя метод подстановки и известные формулы интегрирования. Если у вас остались вопросы по конкретным шагам, пожалуйста, дайте знать!