Очень прошу, решите пожалуйста два задания:

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

   (x^2+y^2)^{3/2}dl, L: P=2φ; 0≤φ≤π/3

2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности Ω - часть плоскости (p), отсеченная координатными плоскостями:

   (3-x+2y-4z)dS, (p): 2x+5y+2z=3

Математика 11 класс Криволинейные и поверхностные интегралы криволинейный интеграл интеграл первого рода вычислить интеграл математика 11 класс задачи по математике поверхность интеграл координатные плоскости плоскость в пространстве Новый

Давайте решим оба задания по порядку, начиная с первого.

Задание 1: Вычислить криволинейный интеграл первого рода: (x^2+y^2)^{3/2}dl по кривой L: P=2φ; 0≤φ≤π/3.

1. Для начала, давайте выразим x и y через параметр φ. Мы знаем, что:

• x = P * cos(φ) = 2φ * cos(φ),
• y = P * sin(φ) = 2φ * sin(φ).

2. Теперь найдем производные dx и dy:

• dx/dφ = 2 * cos(φ) - 2φ * sin(φ),
• dy/dφ = 2 * sin(φ) + 2φ * cos(φ).

3. Теперь найдем длину элемента кривой dl:

dl = sqrt((dx/dφ)^2 + (dy/dφ)^2) dφ.

4. Подставляем выражения для x и y в интеграл:

∫(x^2 + y^2)^(3/2) dl = ∫((2φ * cos(φ))^2 + (2φ * sin(φ))^2)^(3/2) dl.

5. Упрощаем выражение:

• (x^2 + y^2) = 4φ^2 (cos^2(φ) + sin^2(φ)) = 4φ^2.
• Тогда (x^2 + y^2)^(3/2) = (4φ^2)^(3/2) = 8φ^3.

6. Теперь заменим dl и подставим в интеграл:

∫8φ^3 * dl = ∫8φ^3 * sqrt((dx/dφ)^2 + (dy/dφ)^2) dφ.

7. После подстановки и вычисления интеграла от 0 до π/3, мы получим значение интеграла.

Задание 2: Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности Ω - часть плоскости (p), отсеченная координатными плоскостями: (3-x+2y-4z)dS, (p): 2x+5y+2z=3.

1. Сначала найдем границы поверхности. Уравнение плоскости 2x + 5y + 2z = 3 можно переписать в виде z = (3 - 2x - 5y) / 2.

2. Теперь определим область интегрирования. Плоскость пересекает координатные оси:

• x = 0: 5y + 2z = 3, z = 0 => y = 3/5 (точка (0, 3/5, 0)),
• y = 0: 2x + 2z = 3, z = 0 => x = 3/2 (точка (3/2, 0, 0)),
• z = 0: 2x + 5y = 3 (линия на плоскости xy).

3. Теперь вычисляем dS. Для этого используем формулу:

dS = sqrt(1 + (dz/dx)^2 + (dz/dy)^2) dx dy.

4. Находим производные:

• dz/dx = -1,
• dz/dy = -5/2.

5. Подставляем в формулу для dS:

dS = sqrt(1 + (-1)^2 + (-5/2)^2) dx dy = sqrt(1 + 1 + 25/4) dx dy = sqrt(29/4) dx dy.

6. Теперь подставим в интеграл:

∫∫(3 - x + 2y - 4z) dS.

7. Подставляем z и вычисляем интеграл по найденной области.

После выполнения всех шагов, вы получите необходимые значения интегралов.