ОСЕНЬ СРОЧНО!

Как найти сумму последовательности 1 + 2/a + 3/a^2 + 4/a^3 + … + n/a(n-1)?

Математика 11 класс Суммы бесконечных рядов и последовательностей сумма последовательности математика 11 класс 1 + 2/a + 3/a^2 нахождение суммы последовательности математические задачи Новый

Чтобы найти сумму последовательности 1 + 2/a + 3/a² + 4/a³ + ... + n/a(n-1), мы можем воспользоваться методом, который включает в себя использование производной и свойств геометрической прогрессии.

Рассмотрим последовательность:

• Обозначим сумму S = 1 + 2/a + 3/a² + 4/a³ + ... + n/a(n-1).

Для начала, заметим, что данная последовательность можно представить в виде:

• S = Σ (k/a^(k-1)) от k=1 до n, где Σ обозначает сумму.

Теперь, чтобы выразить эту сумму, мы воспользуемся известной формулой для суммы геометрической прогрессии:

• Сумма первых n членов геометрической прогрессии: S_n = a / (1 - r), где a - первый член, r - знаменатель прогрессии.

В нашем случае, мы можем использовать производную от суммы геометрической прогрессии:

• Сначала найдем сумму геометрической прогрессии: T = 1 + x + x² + ... + x^(n-1) = (1 - x^n) / (1 - x) для |x| < 1.
• Теперь, чтобы получить сумму с коэффициентами, мы продифференцируем T по x:

Далее, производная будет выглядеть так:

• T' = 0 + 1 + 2x + 3x² + ... + (n-1)x^(n-2) = (1 - x^n)/(1 - x)² + nx^(n-1)/(1 - x).

Теперь подставим x = 1/a:

• Таким образом, S = a² * ((1 - (1/a)ⁿ)/(1 - (1/a))²) + n(1/a)^(n-1)/(1 - (1/a)).

После подстановки и упрощения мы получим окончательную формулу для суммы S:

• S = (1 - (1/a)ⁿ)/(1 - (1/a))² + n(1/a)^(n-1)/(1 - (1/a)).

Таким образом, сумма последовательности 1 + 2/a + 3/a² + 4/a³ + ... + n/a(n-1) может быть найдена с помощью вышеописанных шагов. Надеюсь, это поможет вам в решении задачи!