По кругу записаны тридцать целых чисел, сумма которых составляет 5. Лена выписала все возможные суммы из десяти подряд идущих чисел, всего получилось тридцать сумм. Наибольшая из этих сумм равна 6. Какое максимальное количество различных чисел может быть у Лены?

Математика 11 класс Комбинаторика и последовательности максимальное количество различных чисел сумма десяти чисел тридцать целых чисел Новый

Для решения этой задачи начнем с анализа данных условий. У нас есть 30 целых чисел, сумма которых равна 5. Лена выписала суммы 10 подряд идущих чисел, и наибольшая из этих сумм равна 6.

Обозначим числа, записанные по кругу, как a1, a2, ..., a30. Тогда:

• Сумма всех чисел: a1 + a2 + ... + a30 = 5.
• Суммы 10 подряд идущих чисел будут иметь вид: S1 = a1 + a2 + ... + a10, S2 = a2 + a3 + ... + a11, ..., S30 = a30 + a1 + ... + a9.

Поскольку числа расположены по кругу, каждая следующая сумма Sn может быть получена из предыдущей суммы Sn-1 путем добавления следующего числа и вычитания предыдущего. То есть:

• S2 = S1 - a1 + a11,
• S3 = S2 - a2 + a12,
• и так далее.

Таким образом, разница между любыми двумя последовательными суммами равна разности двух чисел, которые входят в эти суммы. Поэтому, если S1 = 6, то S2 может быть выражена как:

S2 = 6 - a1 + a11.

Теперь, чтобы понять, как можно получить максимальное количество различных чисел, предположим, что некоторые числа могут быть одинаковыми. Если у нас есть n различных чисел, то максимальная сумма 10 подряд идущих чисел может быть достигнута, если мы будем выбирать максимальные значения из этих чисел.

Если наибольшая сумма равна 6, то это означает, что сумма 10 чисел, которые мы выбираем, не может превышать 6. Поскольку сумма всех 30 чисел равна 5, мы можем предположить, что некоторые числа могут быть отрицательными, чтобы сбалансировать положительные числа.

Предположим, что у нас есть k положительных чисел, которые в сумме дают 6, и (30 - k) отрицательных чисел, которые в сумме дают -1 (чтобы в итоге получить 5).

Таким образом, мы можем записать уравнение:

k * M - (30 - k) * N = 5,

где M - максимальное положительное число, а N - максимальное отрицательное число.

Чтобы числа были различными, мы можем взять, например, 6 положительных чисел, которые будут равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Тогда их сумма будет 21, что больше 6, поэтому нужно будет уменьшить количество положительных чисел и увеличить количество отрицательных.

В итоге, максимальное количество различных целых чисел, которое может быть у Лены, будет зависеть от того, как мы можем сбалансировать положительные и отрицательные числа, чтобы выполнить условия задачи.

Таким образом, максимальное количество различных целых чисел, которое может быть у Лены, будет равно 11, если мы возьмем 10 различных отрицательных чисел и одно положительное число, например, 6.

Ответ: 11 различных чисел.