Помогите пожалуйста. Дано уравнение |x² + 2x| = a-2, где a — параметр.

1. Какое наименьшее значение a, при котором уравнение имеет корень?
2. Какое значение a, при котором уравнение имеет три корня?
3. Сколько существует натуральных чисел a, не превышающих 10, при которых уравнение имеет ровно два корня?
4. Сколько корней имеет уравнение для значения а = /19 - √5?

Математика 11 класс Параметрические уравнения и их корни уравнение корни значение a наименьшее значение три корня два корня натуральные числа математика 11 класс Новый

Давайте поэтапно разберем ваше уравнение |x² + 2x| = a - 2 и ответим на все вопросы.

Сначала упростим выражение внутри модуля:

x² + 2x = x(x + 2)

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от значения выражения x² + 2x:

• Случай 1: x² + 2x ≥ 0 (то есть x(x + 2) ≥ 0)
• Случай 2: x² + 2x < 0 (то есть x(x + 2) < 0)

Теперь найдем нули функции x² + 2x:

x² + 2x = 0 => x(x + 2) = 0, отсюда x = 0 и x = -2.

Функция x² + 2x будет положительной на интервалах (-∞, -2] и [0, +∞), и отрицательной на интервале (-2, 0).

Теперь рассмотрим оба случая:

1. Случай 1 (x² + 2x ≥ 0): Уравнение принимает вид x² + 2x = a - 2.
2. Случай 2 (x² + 2x < 0): Уравнение принимает вид -(x² + 2x) = a - 2, что можно переписать как -x² - 2x = a - 2.

Теперь давайте найдем наименьшее значение a, при котором уравнение имеет хотя бы один корень.

1. **Наименьшее значение a**:

Для того чтобы уравнение имело хотя бы один корень, необходимо, чтобы правая часть (a - 2) была не меньше, чем минимальное значение левой части.

Минимальное значение функции x² + 2x достигается в точке -1 (середина между -2 и 0):

f(-1) = (-1)² + 2*(-1) = 1 - 2 = -1.

Поэтому, чтобы уравнение имело хотя бы один корень, нужно, чтобы a - 2 ≥ -1, что приводит к:

a ≥ 1.

Таким образом, наименьшее значение a, при котором уравнение имеет корень, равно 1.

2. **Значение a, при котором уравнение имеет три корня**:

Уравнение может иметь три корня, если одна из функций (x² + 2x или -x² - 2x) пересекает линию a - 2 в трех точках.

Чтобы это произошло, необходимо, чтобы a - 2 находилось между двумя минимальными значениями функций. Эти минимумы равны -1 и 0 (для случая 2, когда x² + 2x < 0).

Следовательно, для трех корней нужно, чтобы:

-1 < a - 2 < 0.

Это приводит к:

1 < a < 2.

Таким образом, значение a, при котором уравнение имеет три корня, находится в интервале (1, 2).

3. **Количество натуральных чисел a, не превышающих 10, при которых уравнение имеет ровно два корня**:

Уравнение будет иметь ровно два корня, если a - 2 = 0, что происходит при a = 2. В этом случае у нас будет два корня, так как одна из функций будет равна нулю. Также у нас есть возможность, что a - 2 = -1, что также даст два корня (при a = 1).

Таким образом, единственные значения a, при которых уравнение имеет ровно два корня, это 1 и 2. Всего таких натуральных чисел 2 (1 и 2).

4. **Сколько корней имеет уравнение для значения a = 19 - √5?**:

Сначала найдем значение a:

a = 19 - √5. Это значение больше 1, так как √5 примерно равно 2.24, следовательно, 19 - √5 примерно равно 16.76.

Теперь проверим, попадает ли a в диапазон для двух корней (1, 2) или для трех корней (1, 2). Поскольку 19 - √5 > 2, у нас будет 2 корня.

Таким образом, для a = 19 - √5 уравнение имеет два корня.