Помогите, пожалуйста, отдаю все баллы!!1

1. Как можно представить число 52 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была минимальной?
2. Как вычислить объем тела, который образуется при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями Y = X квадрат + 4 и Y = 0?

Математика 11 класс Оптимизация и интегрирование в геометрии число 52 сумма двух положительных слагаемых минимальная сумма квадратов Объём тела вращения криволинейная трапеция линии Y = X квадрат + 4 ось Ох вычисление объёма Новый

Давайте разберем оба вопроса по порядку.

1. Представление числа 52 в виде суммы двух положительных слагаемых с минимальной суммой квадратов.

Обозначим два положительных слагаемых как x и y. Мы хотим, чтобы:

• x + y = 52
• Минимизировать S = x² + y²

Сначала выразим y через x:

y = 52 - x

Теперь подставим это значение в S:

S = x² + (52 - x)²

Раскроем скобки:

S = x² + (52² - 104x + x²) = 2x² - 104x + 2704

Теперь найдем минимум этой квадратичной функции. Для этого можно использовать формулу для нахождения вершины параболы:

x_в = -b/(2a), где a = 2, b = -104.

Подставляем значения:

x_в = -(-104) / (2 * 2) = 104 / 4 = 26.

Теперь найдем y:

y = 52 - x = 52 - 26 = 26.

Таким образом, минимальная сумма квадратов достигается при:

x = 26 и y = 26.

2. Объем тела, образующегося при вращении криволинейной трапеции вокруг оси OX.

Криволинейная трапеция ограничена линиями y = x² + 4 и y = 0. Чтобы найти объем тела, образующегося при вращении, можно использовать метод дисков.

Объем V можно вычислить по формуле:

V = π ∫[a, b] (f(x))² dx,

где f(x) - функция, определяющая верхнюю границу (в данном случае y = x² + 4), а a и b - границы интегрирования.

Сначала найдем точки пересечения функции y = x² + 4 с осью OX (где y = 0):

x² + 4 = 0 не имеет действительных решений, значит, график не пересекает ось OX.

Теперь выберем границы интегрирования. Поскольку функция y = x² + 4 всегда положительна, мы можем взять, например, от -2 до 2 (это произвольный выбор, чтобы упростить расчет).

Таким образом, объем будет равен:

V = π ∫[-2, 2] (x² + 4)² dx.

Теперь раскроем скобки:

(x² + 4)² = x^4 + 8x² + 16.

Теперь вычислим интеграл:

V = π ∫[-2, 2] (x^4 + 8x² + 16) dx.

Вычисляем интеграл по частям:

• ∫ x^4 dx = (1/5)x^5
• ∫ 8x² dx = (8/3)x^3
• ∫ 16 dx = 16x

Теперь подставим границы:

V = π [((1/5)(2^5) - (1/5)(-2^5)) + ((8/3)(2^3) - (8/3)(-2^3)) + (16(2) - 16(-2))]

После вычислений мы получим объем тела вращения.

Надеюсь, это поможет вам понять, как решать эти задачи! Если есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.