Помогите пожалуйста разобраться с свойствами функции y = 2x^2 - 4x + 2, где x принадлежит отрезку [-2; 4].

1. Область определения
2. Область значений
3. Нули функции
4. Четность
5. Промежутки знакопостоянства
6. Непрерывность
7. Монотонность
8. Наибольшее и наименьшее значения
9. Ограниченность
10. Выпуклость

Математика 11 класс Свойства квадратичной функции свойства функции область определения область значений нули функции четность знакопостоянство непрерывность монотонность наибольшее значение наименьшее значение ограниченность выпуклость Новый

Давайте разберем свойства функции y = 2x^2 - 4x + 2 на отрезке [-2; 4]. Начнем с определения области определения и области значений.

1. Область определения:

Область определения функции - это множество всех допустимых значений переменной x. В данном случае, функция является полиномиальной и определена для всех x. Однако, мы рассматриваем только отрезок [-2; 4]. Таким образом, область определения:

• x ∈ [-2; 4]

2. Область значений:

Чтобы найти область значений, нам нужно определить, какие значения может принимать функция на заданном отрезке. Для этого найдем значения функции на границах отрезка и в критической точке.

Сначала найдем производную функции:

y' = 4x - 4.

Приравняем производную к нулю:

4x - 4 = 0 ⟹ x = 1.

Теперь вычислим значение функции в точках x = -2, x = 1 и x = 4:

• y(-2) = 2(-2)^2 - 4(-2) + 2 = 8 + 8 + 2 = 18
• y(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 2 = 2 - 4 + 2 = 0
• y(4) = 2(4)^2 - 4(4) + 2 = 32 - 16 + 2 = 18

Таким образом, область значений функции на отрезке [-2; 4] равна:

• y ∈ [0; 18]

3. Нули функции:

Нули функции находятся, когда y = 0. Решим уравнение:

2x^2 - 4x + 2 = 0.

Упростим уравнение:

x^2 - 2x + 1 = 0 ⟹ (x - 1)^2 = 0.

Таким образом, у нас есть один нуль:

• x = 1.

4. Четность:

Функция y = 2x^2 - 4x + 2 является четной, если выполняется условие f(-x) = f(x). Проверим:

f(-x) = 2(-x)^2 - 4(-x) + 2 = 2x^2 + 4x + 2.

Это не равно f(x), следовательно, функция нечетная. Она не является ни четной, ни нечетной.

5. Промежутки знакопостоянства:

Мы уже нашли, что нуль функции находится в x = 1. Теперь проверим знаки функции на промежутках:

• На отрезке [-2; 1]: выбираем x = 0, y(0) = 2 > 0.
• На отрезке [1; 4]: выбираем x = 2, y(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 2 = 2 > 0.

Таким образом, функция положительна на обоих промежутках:

• y > 0 на [-2; 1) и (1; 4].

6. Непрерывность:

Функция y = 2x^2 - 4x + 2 является полиномиальной, следовательно, она непрерывна на всей области определения, включая отрезок [-2; 4].

7. Монотонность:

Для определения монотонности используем производную:

y' = 4x - 4.

Найдем, где производная положительна или отрицательна:

• y' > 0, когда x > 1 (функция возрастает).
• y' < 0, когда x < 1 (функция убывает).

8. Наибольшее и наименьшее значения:

На отрезке [-2; 4] наименьшее значение функции - это значение в точке x = 1:

• Наименьшее значение: y(1) = 0.

Наибольшее значение функции на границах отрезка:

• Наибольшее значение: y(-2) = y(4) = 18.

9. Ограниченность:

Функция ограничена, так как принимает значения в пределах [0; 18] на отрезке [-2; 4].

10. Выпуклость:

Чтобы определить выпуклость, рассмотрим вторую производную:

y'' = 4.

Поскольку вторая производная положительна, функция выпуклая на всей области определения.

Таким образом, мы рассмотрели все свойства функции y = 2x^2 - 4x + 2 на отрезке [-2; 4].