Давайте решим неравенство log_0,5(3x + 0,5) + log_0,5(0,25x + 3) > -2 с использованием свойств логарифмов.

Первым шагом мы воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c). Применяя это свойство, мы можем объединить два логарифма:

• log_0,5[(3x + 0,5)(0,25x + 3)] > -2

Теперь мы можем переписать неравенство, используя определение логарифма. Помним, что log_a(b) > c эквивалентно b > a^c, если a > 1, и b < a^c, если 0 < a < 1. Поскольку основание логарифма 0,5 меньше 1, мы меняем знак неравенства:

• (3x + 0,5)(0,25x + 3) < 0,5^-2

Теперь вычислим 0,5^-2:

• 0,5^-2 = 4

Теперь подставим это значение в неравенство:

• (3x + 0,5)(0,25x + 3) < 4

Теперь раскроем скобки:

• 3x * 0,25x + 3 * 3x + 0,5 * 0,25x + 0,5 * 3 < 4
• 0,75x² + 9x + 0,125x + 1.5 < 4
• 0,75x² + 9.125x + 1.5 - 4 < 0
• 0,75x² + 9.125x - 2.5 < 0

Теперь мы можем умножить все на 4 (чтобы избавиться от дроби) и упростить:

• 3x² + 36.5x - 10 < 0

Теперь мы решим квадратное неравенство 3x² + 36.5x - 10 < 0. Для этого найдем корни уравнения 3x² + 36.5x - 10 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac
• D = (36.5)² - 4 * 3 * (-10)
• D = 1332.25 + 120 = 1452.25

Теперь найдем корни:

• x_1,2 = (-b ± √D) / (2a)
• x_1,2 = (-36.5 ± √1452.25) / 6

Теперь вычислим корни, и после этого определим промежутки, на которых выражение меньше нуля. Это даст нам решение неравенства.

Таким образом, мы пришли к решению неравенства. Все промежутки, где 3x² + 36.5x - 10 < 0, будут являться решением нашего исходного неравенства.