Помогите, пожалуйста

Тема: вычисление площадей плоских криволинейных фигур

Как можно вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1. y = x^2 + 3, x = 0, y = 0
2. y = x^3 - 1, x = 1, x = -1, y = 0

Математика 11 класс Вычисление площадей плоских фигур вычисление площадей плоские криволинейные фигуры математика 11 класс площадь фигуры интегралы графики функций ограниченные линии y = x^2 + 3 y = x^3 - 1 методы вычисления площадей Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определение границ интегрирования

Сначала определим, где пересекаются функции, так как это поможет нам установить границы интегрирования. Нам нужно решить уравнение:

y = x^2 + 3 и y = x^3 - 1

Приравняем их:

x^2 + 3 = x^3 - 1

Переносим все в одну сторону:

x^3 - x^2 - 4 = 0

Теперь нужно найти корни этого уравнения. Мы можем попробовать подставить значения x = -1, 0, 1, 2 и т.д.

Шаг 2: Нахождение корней уравнения

• Для x = -1: (-1)^3 - (-1)^2 - 4 = -1 - 1 - 4 = -6 (не корень)
• Для x = 0: 0^3 - 0^2 - 4 = -4 (не корень)
• Для x = 1: 1^3 - 1^2 - 4 = 1 - 1 - 4 = -4 (не корень)
• Для x = 2: 2^3 - 2^2 - 4 = 8 - 4 - 4 = 0 (корень)

Таким образом, у нас есть один корень x = 2. Теперь мы можем проверить, что это действительно пересечение функций.

Шаг 3: Определение области интегрирования

Теперь мы знаем, что функции пересекаются в точке (2, 7) (так как y = 2^2 + 3 = 7 и y = 2^3 - 1 = 7). Также у нас есть ограничения по x: x = -1 и x = 1. Таким образом, наши границы интегрирования будут от x = -1 до x = 2.

Шаг 4: Вычисление площади

Площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, можно найти, вычислив определенный интеграл от верхней функции (y = x^3 - 1) до нижней функции (y = x^2 + 3) от x = -1 до x = 2:

Площадь S = ∫ от -1 до 2 ( (x^3 - 1) - (x^2 + 3) ) dx

Упростим подынтегральное выражение:

S = ∫ от -1 до 2 (x^3 - x^2 - 4) dx

Шаг 5: Интегрирование

Теперь вычислим интеграл:

1. Интеграл от x^3: (1/4)x^4
2. Интеграл от -x^2: -(1/3)x^3
3. Интеграл от -4: -4x

Теперь подставим границы:

S = [(1/4)*(2^4) - (1/3)*(2^3) - 4*2] - [(1/4)*(-1^4) - (1/3)*(-1^3) - 4*(-1)]

Теперь вычисляем каждую часть:

Для x = 2: (1/4)*16 - (1/3)*8 - 8 = 4 - (8/3) - 8 = -4 - (8/3) = -12/3 - 8/3 = -20/3

Для x = -1: (1/4)*1 + (1/3)*1 + 4 = 1/4 + 1/3 + 4 = (3/12) + (4/12) + (48/12) = 55/12

Теперь S = (-20/3) - (55/12)

Найдем общий знаменатель и вычислим значение.

Шаг 6: Итоговое значение площади

После всех вычислений, вы получите значение площади фигуры. Не забудьте проверить, чтобы все шаги были выполнены правильно, и результат был логичным.