Помогите решить лимит:

lim(x->0) sin(7x) / tg(2x)

Математика 11 класс Лимиты и непрерывность функций лимит решение лимита sin(7x) tg(2x) математика 11 класс предел функции вычисление предела Новый

Чтобы решить лимит lim(x->0) sin(7x) / tg(2x), давайте воспользуемся некоторыми свойствами пределов и тригонометрическими преобразованиями.

Во-первых, вспомним, что tg(2x) можно выразить через sin и cos:

• tg(2x) = sin(2x) / cos(2x)

Таким образом, наш лимит можно переписать следующим образом:

lim(x->0) sin(7x) / tg(2x) = lim(x->0) sin(7x) / (sin(2x) / cos(2x)) = lim(x->0) sin(7x) * (cos(2x) / sin(2x))

Теперь, мы можем упростить этот лимит:

lim(x->0) sin(7x) * (cos(2x) / sin(2x)) = lim(x->0) (sin(7x) / sin(2x)) * cos(2x)

Теперь давайте рассмотрим каждый из этих пределов по отдельности:

1. lim(x->0) cos(2x) = cos(0) = 1, так как cos(x) непрерывная функция.
2. lim(x->0) (sin(7x) / sin(2x)). Для этого лимита мы можем использовать правило Лопиталя или известную предельную форму sin(kx)/kx.

Используя известное свойство, что lim(x->0) (sin(kx)/kx) = 1, мы можем переписать:

lim(x->0) (sin(7x) / sin(2x)) = lim(x->0) (sin(7x) / (7x)) * (7/2) = (7/2) * 1 = 7/2.

Теперь, подставив найденные значения в наш лимит, получаем:

lim(x->0) sin(7x) / tg(2x) = (7/2) * 1 = 7/2.

Таким образом, окончательный ответ:

Ответ: 7/2.