Идея. Предел при x→a зависит только от поведения функции в окрестности точки a (для x≠a), а не от её значения в самой точке. Самый простой способ получить нужные пределы — сделать функцию постоянной на небольших интервалах вокруг точек -7 и 5 (кроме самих точек). Тогда при подходе к этим точкам значения будут стремиться к этим постоянным.

Пример явной функции и как её построить графически.

Определим функцию f так:

f(x) =

-4, если -7.5 < x < -6.5 и x ≠ -7

3,5, если 4.5 < x < 5.5 и x ≠ 5

sin x, иначе

(в точках x = -7 и x = 5 можно задать любые значения, например f(-7)=0 и f(5)=0 — это не повлияет на пределы.)

1. Почему lim f(x) при x→-7 равен -4.

   По построению в некоторой окрестности точки -7 (например в интервале (-7.5,-6.5)), для всех x≠-7 функция равна -4. Значит для любого последовательного сближения x_n→-7 при x_n≠-7 значения f(x_n) будут равны -4 для всех членов последовательности, начиная с некоторого номера. Отсюда предел равен -4.

2. Почему lim f(x) при x→5 равен 3,5.

   Аналогично: в окрестности 5 (например в (4.5,5.5)) для всех x≠5 f(x)=3,5. Следовательно при x→5 (x≠5) значения f(x) стремятся к 3,5.

Как нарисовать график (пошагово).

• Нарисуйте оси координат, отметьте точки x = -7 и x = 5 на оси x.
• В интервале (-7.5, -6.5) проведите горизонтальную линию на высоте y = -4. В точке x = -7 поставьте пустой кружок (если хотите подчеркнуть, что значение в точке может быть другое). При желании в точке x=-7 можно поставить чёрную точку на другой высоте (например 0), показать разрыв).
• В интервале (4.5, 5.5) проведите горизонтальную линию на высоте y = 3,5. В точке x = 5 поставьте пустой кружок; при желании отметьте другое значение точки чёрной точкой.
• На остальных участках графика нарисуйте y = sin x (или любую другую функцию), чтобы график был определён на всей прямой.

Замечания по теме "свойства пределов".

• Значение функции в самой точке не влияет на существование и значение предела. Можно менять f(a) сколь угодно — предел останется тем же.
• Достаточно установить поведение функции на некоторой (сколько угодно маленькой) окрестности точки, чтобы задать предел. Например, константа на окрестности даёт явный предел.
• Если требуются более «плавные» примеры (без разрывов), можно использовать функции вида f(x) = -4 + (x+7)·g(x), где g(x)→0 при x→-7, или f(x)=3,5 + (x-5)·h(x), где h(x)→0 при x→5. Тогда пределы будут те же, но график будет гладким.

Если нужно, могу нарисовать подробную инструкцию с координатами точек для ручного построения на бумаге или предложить другую конкретную функцию (например кусочно-полиномиальную), подходящую для контрольной работы — скажите, что вам удобнее.