Для решения задачи нам нужно выполнить несколько шагов: построить графики функций, найти точки их пересечения и затем вычислить площадь фигуры, заключенной между этими графиками.

• Функция y = x^2 — это парабола, открытая вверх. Она имеет вершину в точке (0, 0).
• Функция y = x + 2 — это прямая, которая имеет наклон 1 и пересекает ось y в точке (0, 2).

Для построения графиков можно взять несколько значений x и вычислить соответствующие значения y.

• При x = -2, y = 4
• При x = -1, y = 1
• При x = 0, y = 0
• При x = 1, y = 1
• При x = 2, y = 4

• При x = -2, y = 0
• При x = -1, y = 1
• При x = 0, y = 2
• При x = 1, y = 3
• При x = 2, y = 4

Теперь мы можем построить графики обеих функций на одной координатной плоскости.

Чтобы найти точки пересечения графиков, приравняем функции:

x^2 = x + 2.

Переносим все в одну сторону:

x^2 - x - 2 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу корней:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

Подставляем значения:

x = (1 ± √((-1)^2 - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1).

x = (1 ± √(1 + 8)) / 2.

x = (1 ± √9) / 2.

x = (1 ± 3) / 2.

Таким образом, у нас есть два корня:

• x1 = 2
• x2 = -1

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x = 2: y = 2 + 2 = 4.

Для x = -1: y = -1 + 2 = 1.

Итак, точки пересечения: (2, 4) и (-1, 1).

Теперь мы можем найти площадь фигуры, заключенной между графиками, используя интегралы. Площадь будет равна интегралу разности функций от x = -1 до x = 2:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (y_верх - y_низ) dx, где y_верх = x + 2 и y_низ = x^2.

Таким образом:

Площадь = ∫[от -1 до 2] ((x + 2) - (x^2)) dx.

Теперь вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (-x^2 + x + 2) dx.

Вычисляем интеграл:

∫(-x^2 + x + 2) dx = -x^3/3 + x^2/2 + 2x.

Теперь подставим пределы интегрирования:

Площадь = [-x^3/3 + x^2/2 + 2x] от -1 до 2.

Сначала подставляем x = 2:

Площадь(2) = -2^3/3 + 2^2/2 + 2*2 = -8/3 + 2 + 4 = -8/3 + 6 = 10/3.

Теперь подставляем x = -1:

Площадь(-1) = -(-1)^3/3 + (-1)^2/2 + 2*(-1) = 1/3 + 1 - 2 = 1/3 - 1 = -2/3.

Теперь вычтем:

Площадь = (10/3) - (-2/3) = (10/3) + (2/3) = 12/3 = 4.