p>Чтобы найти объём многогранника ABCDMN, давайте разберёмся с данной задачей шаг за шагом.

strong>1. Определим координаты вершин пирамиды: p>Пусть точка A находится в начале координат (0, 0, 0), тогда:

• Точка B будет (12, 0, 0), так как AB = 12.
• Точка C и D будут находиться на плоскости основания. Поскольку основание является квадратом, то допустим, что C = (12, 12, 0) и D = (0, 12, 0).
• Точка S, как вершина пирамиды, будет находиться над центром основания. Центр основания равен (6, 6, 0), а высота SA = 9, следовательно, S = (6, 6, 9).

strong>2. Найдём координаты точки M: p>Точка M находится на ребре SB и делит его в отношении 1:2. Сначала найдем координаты точки B, которая у нас уже есть. Теперь найдем координаты точки S, которые равны (6, 6, 9). Используем формулу для нахождения точки, делящей отрезок в заданном отношении:

• Координаты M по x: (1 * 6 + 2 * 12) / (1 + 2) = (6 + 24) / 3 = 10.
• Координаты M по y: (1 * 6 + 2 * 0) / (1 + 2) = (6 + 0) / 3 = 2.
• Координаты M по z: (1 * 9 + 2 * 0) / (1 + 2) = (9 + 0) / 3 = 3.

p>Таким образом, M = (10, 2, 3). strong>3. Найдём уравнение плоскости, проходящей через точки C, D и M: p>Точки C, D и M имеют координаты:

• C = (12, 12, 0),
• D = (0, 12, 0),
• M = (10, 2, 3).

p>Сначала найдём векторы CD и CM:

• CD = D - C = (0 - 12, 12 - 12, 0 - 0) = (-12, 0, 0),
• CM = M - C = (10 - 12, 2 - 12, 3 - 0) = (-2, -10, 3).

p>Теперь найдем нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение векторов CD и CM:

• n = CD x CM = |i j k|
• |-12 0 0|
• |-2 -10 3|

p>Вычисляем определитель:

• i(0*3 - 0*(-10)) - j(-12*3 - 0*(-2)) + k(-12*(-10) - 0*(-2)) = 0i + 36j + 120k.

p>Таким образом, нормальный вектор n = (0, 36, 120). Уравнение плоскости имеет вид 0*(x - 12) + 36*(y - 12) + 120*(z - 0) = 0, или 36y + 120z = 432. strong>4. Найдём координаты точки N: p>Точка N находится на ребре SA, которое можно выразить через параметр t: S(6, 6, 9) + t(-6, -6, -9). Подставим параметры в уравнение плоскости:

• 36(6 - 6t) + 120(9 - 9t) = 432.

p>Решим это уравнение для t:

• 216 - 36*6t + 1080 - 1080t = 432,
• 1296 - 1116t = 432,
• 1116t = 864,
• t = 864 / 1116 = 0.774.

p>Теперь подставим t в уравнение линии SA, чтобы найти координаты N:

• N = (6 - 6 * 0.774, 6 - 6 * 0.774, 9 - 9 * 0.774) = (1.63, 1.63, 2.13).

strong>5. Теперь найдём объём многогранника ABCDMN: p>Объём пирамиды можно найти по формуле V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, а h - высота. Площадь основания ABCD равна 12 * 12 = 144. Высота многогранника будет равна расстоянию от точки N до плоскости ABCD, которое можно найти через расстояние от точки до плоскости. p>Таким образом, объём ABCDMN равен V = (1/3) * 144 * h, где h - высота от точки N до плоскости (C, D, M). p>Надеюсь, это поможет вам понять, как решить задачу!