Решение первого уравнения:

Дано уравнение:

2 log5 (x-1) = log5(12x+1)

Первый шаг: Применим свойства логарифмов. Мы знаем, что 2 log5 (x-1) можно переписать как log5((x-1)^2). Таким образом, уравнение преобразуется:

log5((x-1)^2) = log5(12x+1)

Второй шаг: Поскольку логарифмы с одинаковыми основаниями равны, мы можем приравнять их аргументы:

(x-1)^2 = 12x + 1

Третий шаг: Раскроем скобки:

x^2 - 2x + 1 = 12x + 1

Четвертый шаг: Переносим все члены в одну сторону:

x^2 - 2x + 1 - 12x - 1 = 0

x^2 - 14x = 0

Пятый шаг: Вынесем x за скобки:

x(x - 14) = 0

Шестой шаг: Находим корни уравнения:

• x = 0
• x = 14

Седьмой шаг: Проверим корни на допустимость. Поскольку в логарифме аргумент должен быть больше нуля, проверяем x = 14:

x - 1 = 14 - 1 = 13 > 0

12x + 1 = 12*14 + 1 = 169 > 0

Корень x = 0 не подходит, так как (0 - 1) < 0. Таким образом, единственный допустимый корень:

x = 14

Решение системы уравнений:

Дана система:

1. 101 + lg(x+y) = 40
2. lg(x-y) + lg(x+y) = 3lg2

Первый шаг: Из первого уравнения выразим lg(x+y):

lg(x+y) = 40 - 101 = -61

Второй шаг: Преобразуем это в экспоненциальную форму:

x + y = 10^(-61)

Третий шаг: Подставим значение lg(x+y) во второе уравнение:

lg(x-y) + (-61) = 3lg2

lg(x-y) = 3lg2 + 61

Четвертый шаг: Преобразуем 3lg2 в экспоненциальную форму:

lg(x-y) = lg(2^3) + 61 = lg(8) + 61

lg(x-y) = lg(8 * 10^61)

Пятый шаг: Применим свойства логарифмов:

x - y = 8 * 10^61

Теперь у нас есть две системы:

• x + y = 10^(-61)
• x - y = 8 * 10^61

Шестой шаг: Сложим оба уравнения:

(x + y) + (x - y) = 10^(-61) + 8 * 10^61

2x = 10^(-61) + 8 * 10^61

Седьмой шаг: Выразим x:

x = (10^(-61) + 8 * 10^61) / 2

Восьмой шаг: Найдем y, подставив x в одно из уравнений.

Таким образом, мы нашли x и можем выразить y. Однако, так как значения очень большие и маленькие, мы не можем получить точные значения, но мы можем оставить их в такой форме.

Ответ:

• Первое уравнение: x = 14
• Система уравнений: x = (10^(-61) + 8 * 10^61) / 2, y = (10^(-61) - 8 * 10^61) / 2