Пожалуйста, срочно помогите. Нужно найти план дифференциации функции z(x,y)=5xy²-3x³y⁴.

Математика 11 класс Частные производные и дифференциальное исчисление функций нескольких переменных план дифференциации функции дифференцирование функции z математика 11 класс производная функции z функции нескольких переменных Новый

Ответ:

Давайте найдем план дифференциации функции z(x,y) = 5xy² - 3x³y⁴. Мы будем вычислять частные производные этой функции по переменным x и y.

1. Определение функции:

Записываем функцию: z(x,y) = 5xy² - 3x³y⁴.

2. Частная производная по x:

Чтобы найти частную производную функции z по переменной x, мы будем рассматривать y как константу. Применим правило дифференцирования:

• Первая часть: 5xy². При дифференцировании по x мы получаем 5y².
• Вторая часть: -3x³y⁴. При дифференцировании по x мы получаем -9x²y⁴ (здесь мы используем правило степеней).

Таким образом, частная производная по x будет:

∂z/∂x = 5y² - 9x²y⁴.

3. Частная производная по y:

Теперь найдем частную производную функции z по переменной y, рассматривая x как константу:

• Первая часть: 5xy². При дифференцировании по y мы получаем 10xy.
• Вторая часть: -3x³y⁴. При дифференцировании по y мы получаем -12x³y³.

Таким образом, частная производная по y будет:

∂z/∂y = 10xy - 12x³y³.

4. Запись результатов:

Мы нашли частные производные:

• ∂z/∂x = 5y² - 9x²y⁴
• ∂z/∂y = 10xy - 12x³y³

5. Вторые производные (по желанию):

Если вас интересуют вторые производные, мы можем найти их, проделав аналогичные шаги:

• Вторая производная по x: ∂²z/∂x²
• Вторая производная по y: ∂²z/∂y²
• Смешанная производная: ∂²z/∂x∂y и ∂²z/∂y∂x

Краткий итог:

Мы нашли частные производные функции z по переменным x и y, что позволяет анализировать, как функция изменяется в зависимости от этих переменных. Это важный шаг в изучении многомерного анализа и оптимизации функций.