Чтобы решить задачу, нам нужно выяснить, при каких натуральных n выражение n^3 - 2 является степенью простого числа, то есть может быть записано в виде p^k, где p - простое число, а k - натуральное число, большее 1.

Давайте разберем шаги решения:

1. Запишем выражение:

   n^3 - 2 = p^k

2. Проверим небольшие значения n:
   • Для n = 1:
     1^3 - 2 = 1 - 2 = -1 (не подходит)
   • Для n = 2:
     2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 (не является степенью простого числа)
   • Для n = 3:
     3^3 - 2 = 27 - 2 = 25 = 5^2 (подходит, так как 5 - простое число)
   • Для n = 4:
     4^3 - 2 = 64 - 2 = 62 (не является степенью простого числа)
   • Для n = 5:
     5^3 - 2 = 125 - 2 = 123 (не является степенью простого числа)
   • Для n = 6:
     6^3 - 2 = 216 - 2 = 214 (не является степенью простого числа)
   • Для n = 7:
     7^3 - 2 = 343 - 2 = 341 (не является степенью простого числа)
   • Для n = 8:
     8^3 - 2 = 512 - 2 = 510 (не является степенью простого числа)
   • Для n = 9:
     9^3 - 2 = 729 - 2 = 727 (не является степенью простого числа)
   • Для n = 10:
     10^3 - 2 = 1000 - 2 = 998 (не является степенью простого числа)
3. Обобщим результат:

   Мы видим, что только для n = 3 выражение n^3 - 2 = 25 является степенью простого числа (5^2).

4. Проверим, могут ли быть другие решения:

   Для больших n, n^3 будет расти значительно быстрее, чем 2, и, следовательно, n^3 - 2 будет всё больше и больше. Проверяя, можно заметить, что разность между последующими значениями n^3 - 2 увеличивается, и это делает маловероятным, что для больших n получится степень простого числа.

Таким образом, единственное натуральное n, для которого n^3 - 2 является степенью простого числа, это n = 3.