При каких значениях а корни уравнения x^2 + x + а = 0 будут больше а?

Математика 11 класс Неравенства и условия существования корней корни уравнения значения а уравнение x^2 + x + а условия для корней математика 11 класс Новый

Для того чтобы определить, при каких значениях a корни уравнения x^2 + x + a = 0 будут больше a, начнем с анализа самого уравнения.

Уравнение имеет вид:

x^2 + x + a = 0

Корни этого квадратного уравнения можно найти с помощью дискриминанта. Дискриминант D равен:

D = b^2 - 4ac,

где a = 1, b = 1 и c = a. Таким образом, дискриминант будет равен:

D = 1^2 - 4 * 1 * a = 1 - 4a.

Корни уравнения будут действительными, если D ≥ 0. Это условие можно записать как:

• 1 - 4a ≥ 0

Решим это неравенство:

• 1 ≥ 4a
• a ≤ 1/4.

Теперь, чтобы корни были больше a, обозначим корни через x1 и x2. По формуле корней квадратного уравнения они равны:

x1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (-1 ± √(1 - 4a)) / 2.

Для того чтобы оба корня были больше a, необходимо, чтобы:

• x1 > a и x2 > a.

Рассмотрим первый корень x1:

x1 = (-1 + √(1 - 4a)) / 2 > a.

Умножим обе стороны на 2 (учитывая, что 2 > 0):

-1 + √(1 - 4a) > 2a.

Переносим -1 и 2a в одну сторону:

√(1 - 4a) > 2a + 1.

Теперь возведем обе стороны в квадрат (учитывая, что обе стороны не отрицательны, так как это будет выполняться при соответствующих значениях a):

1 - 4a > (2a + 1)^2.

Раскроем скобки:

1 - 4a > 4a^2 + 4a + 1.

Соберем все в одну сторону:

0 > 4a^2 + 8a.

Это неравенство можно упростить:

0 > 4a(a + 2).

Решая это неравенство, мы получаем:

• a < 0 или a > -2.

Таким образом, у нас есть два условия:

• 1. a ≤ 1/4 (из условия на дискриминант)
• 2. a < 0 или a > -2 (из условия на корни).

Теперь объединим эти условия. Мы видим, что:

• Если a < 0, то это условие выполняется, и a ≤ 1/4 также выполняется.
• Если -2 < a < 0, то это также удовлетворяет обоим условиям.
• Если a = 0, то корни равны 0 и 0, что также больше 0.
• Если a > 0, то a ≤ 1/4 ограничивает нас до a ≤ 1/4.

Таким образом, корни уравнения x^2 + x + a = 0 будут больше a при следующих значениях a:

• a < 0
• или -2 < a ≤ 1/4.

Итак, окончательный ответ: корни уравнения будут больше a, если a < 0 или -2 < a ≤ 1/4.